Fracciones generatrices
Te cuesta clasificar los decimales y además debes pasarlos a fracciones.
No te preocupes no eres el único/a.
No solo te ayudaré a entenderlo, además te daré múltiples ejercicios, esquemas y calculadoras que te van a ayudar.
Contenidos que vas a ver
Definición de la Fracción Generatriz
La fracción generatriz de un número decimal periódico (ya sea exacto, puro o mixto) es una fracción equivalente al número decimal. El objetivo es transformar el decimal en una fracción de forma correcta. Recuerda que los números irracionales no tienen fracción generatriz.
Tipos de decimales:
| Tipo de Decimal | Descripción | Ejemplo |
|---|---|---|
| Decimal exacto | Es aquel que tiene la parte decimal finita, es decir, tiene un número determinado de cifras en la parte decimal. | 0.75, 0.5 |
| Decimal periódico puro | Un decimal que tiene una secuencia de dígitos que se repite indefinidamente. | 0.333…, 0.666… |
| Decimal periódico mixto | Un decimal en el que algunos dígitos no se repiten antes de que comience la parte periódica. | 0.12333…, 0.41666… |
Fracción Generatriz de un número decimal
Para calcular la fracción generatriz debes en primer lugar identificar el número decimal con el que estás trabajando.
Después debes seguir una serie de procesos para calcular la fracción generatriz
Fracciones generatrices para números decimales exactos
La fracción generatriz de un número decimal exacto se calcula de la siguiente manera:
- Paso 1: En el numerador se pone la cifra sin la coma.
- Paso 2: En el denominador se pone un 1 seguido de tantos ceros como cifras haya en la parte decimal.
Ejemplo desarrollado:
Convertir el número decimal 0.75 en fracción generatriz:
- El numerador es la cifra sin la coma: 75
- El denominador es un 1 seguido de tantos ceros como cifras en la parte decimal: 100 (porque hay dos cifras decimales).
- Entonces, la fracción generatriz es: 75/100
- Finalmente, se simplifica si es posible: 75/100 = 3/4
Fracción generatriz periódico puro
La fracción generatriz de un número decimal periódico puro se calcula de la siguiente manera:
- En el numerador se pone la cifra sin la coma menos la parte entera.
- En el denominador se ponen tantos 9 como cifras haya en la parte periódica.
Ejemplo:
Convertir el número decimal periódico \(0.333\ldots\) en fracción:
- Escribimos el decimal sin coma: 333…
- Restamos la parte entera: \(333 – 0 = 333\)
- Denominador: Como la parte periódica tiene 1 cifra (3), el denominador será 9.
- Fracción generatriz: \( \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \)
Fracción generatriz periódico mixto
La fracción generatriz de un número decimal periódico mixto se calcula de la siguiente manera:
- En el numerador se pone la cifra sin la coma menos la parte entera junto con el anteperiodo.
- En el denominador se ponen tantos 9 como cifras haya en la parte periódica, seguido de tantos ceros como cifras tenga el anteperiodo.
Ejemplo:
Tomemos el número decimal periódico mixto \( 0.12\overline{3} \).
- Número sin coma: \( 123 \) (parte entera más parte periódica).
- Parte entera + anteperiodo: \( 12 \).
- Numerador: \( 123 – 12 = 111 \).
- Denominador: Tantos 9 como cifras tenga la parte periódica (1 cifra), seguido de tantos ceros como cifras tenga el anteperiodo (2 cifras): \( 900 \).
- Fracción generatriz: \( \frac{111}{900} \).
Tabla Didáctica de Decimales Periódicos y sus Fracciones Generatrices
| Tipo de Decimal | Cómo Calcular la Fracción Generatriz | Ejemplo |
|---|---|---|
| Decimal Exacto | Escribe el número sin la coma como numerador y en el denominador pon un 1 seguido de tantos ceros como cifras haya en la parte decimal. | \(0.75 = \frac{75}{100}\) |
| Decimal Periódico Puro | Escribe el número sin la coma menos la parte no periódica en el numerador. En el denominador, pon tantos 9 como cifras tenga la parte periódica. | \(0.\overline{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\) |
| Decimal Periódico Mixto | Escribe el número sin la coma menos la parte entera junto con el anteperiodo en el numerador. En el denominador, pon tantos 9 como cifras haya en la parte periódica, seguido de tantos ceros como cifras tenga el anteperiodo. | \(0.12\overline{3} = \frac{123 – 12}{900} = \frac{111}{900}\) |
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Fracción generatriz ejercicios resueltos
Listados de ejercicios resueltos, presta atención a la estrategia
| Enunciado | Solución |
|---|---|
| Convierte el número decimal 0,75 en fracción generatriz. | La fracción generatriz de 0,75 es 75/100, simplificada a 3/4. |
| Escribe la fracción generatriz de 0,333… (decimal periódico). | La fracción generatriz es 1/3, ya que 0,333… = 1/3. |
| Convierte 1,25 en fracción generatriz. | La fracción generatriz es 125/100, simplificada a 5/4. |
| Transforma 0,16 en fracción generatriz. | 0,16 se convierte en 16/100, simplificada a 4/25. |
| Convierte 0,58 en fracción generatriz. | La fracción generatriz de 0,58 es 58/100, simplificada a 29/50. |
| Encuentra la fracción generatriz de 2,75. | 2,75 es 275/100, simplificada a 11/4. |
| Convierte el decimal periódico 0,666… en fracción. | 0,666… = 2/3. |
| Escribe la fracción generatriz de 0,125. | 0,125 se convierte en 125/1000, simplificada a 1/8. |
| Convierte 0,8 en fracción generatriz. | La fracción generatriz es 8/10, simplificada a 4/5. |
| Escribe la fracción generatriz de 1,666… (decimal periódico). | La fracción generatriz es 5/3, ya que 1,666… = 5/3. |
1. Convierte el número decimal 0,45 en fracción generatriz.
0,45 se puede escribir como una fracción con 100 en el denominador, ya que tiene dos decimales:
0,45 = 45/100.
Ahora simplificamos la fracción dividiendo tanto el numerador como el denominador por su máximo común divisor, que en este caso es 5:
45/100 = 9/20.
Entonces, la fracción generatriz es 9/20.
2. Escribe la fracción generatriz de 0,125.
El número 0,125 tiene tres decimales, por lo que lo escribimos como una fracción con 1000 en el denominador:
0,125 = 125/1000.
Ahora simplificamos dividiendo entre 125:
125/1000 = 1/8.
Entonces, la fracción generatriz es 1/8.
3. Convierte 0,6 en fracción generatriz.
El decimal 0,6 tiene un solo decimal, por lo que podemos escribirlo como una fracción con 10 en el denominador:
0,6 = 6/10.
Simplificamos dividiendo ambos por su máximo común divisor, que es 2:
6/10 = 3/5.
Entonces, la fracción generatriz es 3/5.
4. Convierte el número periódico 0,666… en fracción generatriz.
Llamemos x = 0,666….
Multiplicamos por 10 para obtener una ecuación:
10x = 6,666….
Restamos la ecuación original:
10x – x = 6,666… – 0,666…
9x = 6.
Despejamos x:
x = 6/9 = 2/3.
Entonces, la fracción generatriz es 2/3.
5. Convierte el número decimal 0,08 en fracción generatriz.
0,08 tiene dos decimales, por lo que lo escribimos como:
0,08 = 8/100.
Simplificamos la fracción dividiendo ambos términos entre su máximo común divisor, que es 4:
8/100 = 2/25.
Entonces, la fracción generatriz es 2/25.
6. Convierte 1,75 en fracción generatriz.
1,75 es un número mixto, por lo que separamos la parte entera:
1 + 0,75.
0,75 se puede escribir como 75/100 = 3/4.
Entonces, 1,75 = 1 + 3/4 = 7/4.
La fracción generatriz es 7/4.
7. Escribe la fracción generatriz de 2,125.
Primero separamos la parte entera:
2,125 = 2 + 0,125.
Sabemos que 0,125 = 1/8, por lo que:
2,125 = 2 + 1/8 = 16/8 + 1/8 = 17/8.
La fracción generatriz es 17/8.
8. Convierte 0,5 en fracción generatriz.
0,5 se puede escribir directamente como una fracción con 10 en el denominador:
0,5 = 5/10.
Simplificamos dividiendo entre 5:
5/10 = 1/2.
La fracción generatriz es 1/2.
9. Convierte 3,2 en fracción generatriz.
3,2 = 3 + 0,2.
0,2 se puede escribir como 2/10 = 1/5.
Entonces, 3,2 = 3 + 1/5 = 15/5 + 1/5 = 16/5.
La fracción generatriz es 16/5.
10. Convierte 0,09 en fracción generatriz.
0,09 tiene dos decimales, por lo que se escribe como:
0,09 = 9/100.
La fracción ya está simplificada, por lo que la fracción generatriz es 9/100.
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Fracción generatriz calculadora
Aquí tienes una calculadora de fracciones generatrices paso a paso creada por mí para que compruebes tus decimales. Debes de incorporar los decimales con un punto, no le pongas coma.
Calculadora de fracciones generatrices paso a paso
Operaciones combinadas con fracciones generatrices
Cuando tengas que operar sumas, restas, multiplicaciones o divisiones con números decimales periódicos, te voy a dar unas pautas para hacerlo mucho mejor:
- 1. Pasa a fracción generatriz todos los números decimales periódicos.
- 2. Sustituye cada número decimal periódico por su correspondiente fracción generatriz.
- 3. Opera, según las normas de las operaciones con fracciones.
Suma \(0.3333… + 0.6666…\).
Paso 1: Convertimos ambos a fracción generatriz: \( \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \).
Paso 2: Suma: \( \frac{1 + 2}{3} = \frac{3}{3} = 1 \).
Resta \(1.7272… – 0.4545…\).
Paso 1: Convertimos a fracciones: \( \frac{85}{99} – \frac{45}{99} \).
Paso 2: Resta: \( \frac{85 – 45}{99} = \frac{40}{99} \).
Multiplica \(0.1818… \times 2\).
Paso 1: Convertimos a fracción: \( \frac{2}{11} \times 2 \).
Paso 2: Multiplicamos: \( \frac{2 \times 2}{11} = \frac{4}{11} \).
Divide \(0.5454… ÷ 0.0909…\).
Paso 1: Convertimos a fracciones: \( \frac{6}{11} ÷ \frac{1}{11} \).
Paso 2: Realizamos la división: \( \frac{6}{11} \times \frac{11}{1} = 6 \).
Suma \(1.2727… + 0.7272…\).
Paso 1: Convertimos a fracciones: \( \frac{14}{11} + \frac{8}{11} \).
Paso 2: Suma: \( \frac{14 + 8}{11} = \frac{22}{11} = 2 \).
Resta \(2.666… – 1.111…\).
Paso 1: Convertimos a fracciones: \( \frac{8}{3} – \frac{1}{9} \).
Paso 2: Resta: \( \frac{24}{9} – \frac{1}{9} = \frac{23}{9} \).
Multiplica \(1.333… \times 0.666…\).
Paso 1: Convertimos a fracciones: \( \frac{4}{3} \times \frac{2}{3} \).
Paso 2: Multiplicamos: \( \frac{4 \times 2}{3 \times 3} = \frac{8}{9} \).
Divide \(1.8181… ÷ 0.0909…\).
Paso 1: Convertimos a fracciones: \( \frac{20}{11} ÷ \frac{1}{11} \).
Paso 2: Dividimos: \( \frac{20}{11} \times \frac{11}{1} = 20 \).
Suma \(0.0909… + 0.8181…\).
Paso 1: Convertimos a fracciones: \( \frac{1}{11} + \frac{9}{11} \).
Paso 2: Suma: \( \frac{1 + 9}{11} = \frac{10}{11} \).
Multiplica \(0.0909… \times 0.7272…\).
Paso 1: Convertimos a fracciones: \( \frac{1}{11} \times \frac{8}{11} \).
Paso 2: Multiplicamos: \( \frac{1 \times 8}{11 \times 11} = \frac{8}{121} \).
Preguntas Frecuentes (FAQ)
Una fracción generatriz es una fracción que representa un número decimal, ya sea exacto o periódico. Este concepto se utiliza para convertir números decimales en fracciones irreducibles.
Para un decimal exacto, se escribe el número sin la coma como numerador, y en el denominador se coloca un 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga el número. Ejemplo:
\(0.75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}\)
Para un decimal periódico puro (donde una secuencia de cifras se repite indefinidamente), se escribe el número sin la coma menos la parte que no se repite. Luego, en el denominador se colocan tantos 9 como cifras tiene la parte periódica. Ejemplo:
\(0.\overline{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\)
Para un decimal periódico mixto (donde algunas cifras no se repiten antes de que comience el periodo), se escribe el número completo sin coma menos la parte que no se repite. En el denominador se colocan tantos 9 como cifras tiene la parte periódica, seguido de tantos ceros como cifras tenga el anteperiodo. Ejemplo:
\(0.12\overline{3} = \frac{123 – 12}{900} = \frac{111}{900}\)
Experiencia del Profesor
En mis 30 años como profesor de matemáticas, he visto cómo el tema de las fracciones generatrices suele ser complicado, pero los errores comunes radican en confundir los pasos para decimales puros y mixtos.
Ayuda a los estudiantes a comprender las relaciones numéricas de una manera más profunda.
Cómo Enseñar Fracciones Generatrices en la ESO, Bachillerato y Universidad
Una de las ventajas de tener más de tres décadas de experiencia enseñando matemáticas es que he podido adaptar mis métodos a diferentes niveles educativos.
En la ESO, es fundamental empezar con los conceptos más sencillos, como la conversión de decimales exactos, antes de avanzar a los periódicos puros y mixtos.
Suelo usar ejercicios prácticos que ayuden a los estudiantes a ver las fracciones como una herramienta más que una abstracción.
Errores Comunes al Trabajar con Fracciones Generatrices y Cómo Evitarlos
Uno de los errores más comunes que he visto a lo largo de los años es que los estudiantes olvidan simplificar las fracciones después de obtenerlas.
Por ejemplo, muchos pueden obtener 100/300 para 0,333…, pero no siempre llegan a 1/3 si no se les recuerda la importancia de la simplificación.
La confusión entre decimales periódicos puros y mixtos. Algunos estudiantes intentan aplicar el mismo método a ambos tipos, lo cual lleva a fracciones incorrectas. Siempre enfatizo la necesidad de identificar correctamente el tipo de decimal antes de proceder.
Conclusión: La Importancia de las Fracciones Generatrices en el Aprendizaje de las Matemáticas
Las fracciones generatrices no solo son un tema esencial en el currículo de matemáticas, sino que también representan una oportunidad para que los estudiantes adquieran habilidades fundamentales en el manejo de números. A lo largo de los años, he visto cómo el dominio de este concepto mejora significativamente la confianza y el desempeño de los estudiantes en matemáticas. Ya sea en ESO, Bachillerato o universidad, la comprensión de las fracciones generatrices abre la puerta a una mayor apreciación de las matemáticas y su aplicabilidad en la vida cotidiana y profesional.
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