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Cálculo de derivadas 🌀 ¿Qué son las Derivadas y para qué sirven?

Aquí encontrarás:

  • Definición de ¿qué es la derivada de la función en un punto?
  • Tipos de derivadas.
  • Propiedades de las derivadas.
  • Tablas de derivadas.

Y muchas cosas más relacionadas con el mundo de las derivadas

Gráfico sobre la definición de derivada de una función en un punto a, imagenes de derivadas

Temas relacionados con las derivadas

¿Cómo se hace la derivada de una función en un punto?

Debes saber que este cálculo se puede hacer desde dos puntos de vista:

A partir de su definición

resolviendo este límite

f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

Ejemplo, calcula las derivadas por definición de las siguientes funciones

✅ f(x)= 7 ;

resolución de la definición de derivada

✅ f(x)=2x+1

f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{2(x_0+h)+1-2x_0-1}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{2x_0+2h+1-2x_0-1}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{2h}{h}=2

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Clica en este enlace y conoce mucho más del cálculo de derivadas por definición.

Todo gratis para ti

O con la fórmula correspondiente que se encuentra en una tabla de derivadas de la que hablaremos más adelante.

Reglas de derivación. Operaciones

Las propiedades de las derivadas son tan importantes que te harán resolver los ejercicios de una manera más fácil y corta que si no las utilizas. Te las voy a enumerar, luego más adelante tendrás más de 50 ejemplos para que veas cómo se resuelven.

Tienes que tener en cuenta que f(x), g(x) y h(x), u y v son funciones reales y K es un escalar real y la teoría de derivadas, en definitiva qué son las derivadas en cálculo.

✅ Derivada de una constante

f(x)= K. f'(x)=0

✅ Derivada de una suma o resta de funciones.

f(x)= u±v. f'(x)=u’±v’

✅ Derivada de un producto de un escalar por una función.

f(x)=K·u. f'(x)= K·u’

✅ Derivada de la multiplicación de funciones.

f(x)= u·v. f'(x)=u’.v+u·v’

✅ Derivada de una división entre una constante y una función.

f(x)= K/v. f'(x)=-K·v’/v2

✅ Derivada de un cociente de funciones.

f(x)= u/v. f'(x)=(u’·v-u·v’)/v2

✅ Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena.

f(x)= g(h(x)). f'(x)=g'(h(x))·h'(x)

✅ Derivada de la función inversa.

La composición de una función y su inversa da como resultado la función identidad f(f-1(x))= x. Si derivamos ambos miembros y aplicando la regla de la cadena en el primer miembro tenemos f'(f-1(x))·(f-1)'(x)=1; (f-1)'(x)=1/(f'(f-1(x)))

Bueno ahora toca hacer muchos ejercicios

Cálculo de la derivada de una división de funciones. Ejercicio

En este apartado te mostraré un ejercicio para que veas cómo se derivan, con la teoria de las derivadas, pero para tener mejor manejo en el tema de la derivada de la división, solo tienes que clicar y aprenderás mucho más. Mira estas imagenes de derivadas.

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resolución de ejercicios de derivadas de la división de distintas funciones reales de variable real, derivada de una variable, derivadas de funciones reales

Las llamadas funciones potenciales, funciones polinómicas

Para este tipo de derivadas debes tener en cuenta f(x)=xn , su derivada es f'(x)=n·xn-1 ; f(x)=un , su derivada es f'(x)=n·un-1·u’ y las propiedades.

  • f(x)=10. f'(x)=0; sabes que la derivada de una constante siempre es cero, porque la función nunca sufre variación en la variable dependiente, por lo tanto, su derivada es 0
  • f(x)=-3x f'(x)=-3; tenemos una constante, -3, por una función x, entonces la constante se deja igual y solo derivas x, que es 1.
  • f(x)=x+3 f'(x)=1; en este caso al ser la suma de dos funciones, las separamos y hacemos la derivada de cada una de ellas, la derivada de x es 1 y la de 3, cero.
  • f(x)=-5x3 +1 f'(x)=-15x2 ; separamos la suma en dos, la derivada de 1 es cero, al ser una constante, la derivada de -5x3 debemos utilizar esta fórmula f'(x)=n·xn-1
  • f(x)=(x2 -2)/5 f'(x)=(2/5)·x ; coloca primero la función de esta forma (1/5)·(x2 -2) y es como derivar una constante por una función.
  • f(x)=2/5x4 f'(x)=-8/(5x5); te aconsejo que la función la pongas así, llévate la x4 al numerador, es decir, f(x)=(2/5)·x-5 y deriva como una constante por una función, reduce las fracciones que te queden.
  • f(x)=2x4 +3x3 -2x+5 f'(x)=8x4 +9x2 -2; aplica la propiedad y separa cada sumando y deriva como si fuera una constante por una función, sin más.

Si quieres ver muchas más de este estilo, clica en el siguiente enlace y me ves el careto 😂

Encontrarás muchísimos ejercicios resueltos paso a paso y muchas cosas más

Derivada de una raíz. Truco fácil

¿Quieres saber qué truco utilizo yo? Mira solo lo que tienes que hacer es ponerlas en forma de potencia de exponente fraccionario y derivar como hemos hecho en el apartado anterior. Así de esta forma solo te tienes que aprender una fórmula de la tabla de derivadas.

f(x)=\sqrt{x}\\ f(x)=x^\frac{1}{2}\\ f'(x)=\frac{1}{2}x^\frac{-1 {2}

f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}} \\ f(x)=x^\frac{-1}{2} \\ f'(x)=\frac{-1}{ 2}x^\frac{-2}{5}

f(x)=\sqrt[5]{x^3}

f(x)=x^\frac{3}{5}+x^\frac{3}{2}\\ f'(x)=\frac{3}{5}x^\frac{-2} {5}+\frac{3}{2}x^\frac{1}{2}

f(x)=\sqrt{x^3-2}\\ f(x)=(x^3-2)^\frac{1}{2}\\ f'(x)=\frac{1} {2}(x^3-2)^\frac{-1}{2}3x^2

Derivadas exponenciales

En este bloque tienes que utilizar las siguientes fórmulas de funciones exponenciales

f(x)=au f'(x)=u’·au ·lna

f(x)=eu f'(x)=u’·eu

f(x)=3^{x^2}f'(x)=2x·3^{x^2}ln3

f(x)=3^{x}}f(x)=3^{x^{\frac{1}{2}}}\\ f'(x)=\frac{1}{2}x^\frac{-1}{2}3^ {\sqrt{x}}ln3

f(x)=e^{\frac{1}{x^2}}

f(x)=e^{x^{-2}}\\ f'(x)=-2x^-3e^{\frac{1}{x^2}

f(x)=2^{\sqrt[3]{x^2-1}}\\ f(x)=2^{(x^2-1)^{\frac{1}{3}}} \\ f'(x)=\frac{1}{3}(x^2-1)^{\frac{-2}{3}}2x2^{\sqrt[3]{x^2-1} }ln2

Derivadas logarítmicas

En este bloque tienes que utilizar las siguientes fórmulas de funciones logarítmicas

\small \bg_red \fn_jvn f(x)=lnx \Rightarrow f'(x)=\frac{1}{x}\\ f(x)=lnu \Rightarrow f'(x)=\frac{u'}{u}\\ f(x)=\log_ax \Rightarrow f'(x)=\frac{1}{xlna}\\ f(x)=\log_au \Rightarrow f'(x)=\frac{u'}{cúbito}

Tienes que tener en cuenta que las propiedades de los logaritmos también debes tenerlos en cuenta.

\fn_jvn f(x)=\log_3(x^3-2)

\bg_red \fn_jvn f'(x)= \frac{3x^2}{(x^3-2)ln3}

\fn_jvn f(x)=\sqrt[4]{\log_32x}

\fn_jvn \small f(x)=(\log_32x)^{\frac{1}{4}}=\frac{1}{4}(\log_32x)

\bg_red \fn_jvn f'(x)=\frac{1}{3ln3}

\fn_jvn f(x)=\ln{\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}}

\fn_jvn \small f(x)=\ln{\left ( \frac{1+x}{1-x} \right )}^{\frac{1}{2}}

\dpi{120} \small =\frac{1}{2}ln\left ( \frac{1+x}{1-x} \right )=\frac{1}{2}\left (ln(1+x)-ln(1-x)\right )

\bg_red \fn_jvn f'(x)=\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{1+x}-\frac{1}{1-x} \right )

\fn_jvn f(x)=lnx^5

\fn_jvn f(x)=5lnx

\bg_red \fn_jvn f'(x)=\frac{5}{x}

\fn_jvn f(x)=\log{(3x^4-x^2)}

\pequeño \bg_rojo \fn_jvn f'(x)=\frac{12x^3-2x}{3x^4-x^2}=

\dpi{120} \pequeño =\frac{x(12x^2-2)}{x(3x^3-x)}=\frac{12x^2-2}{3x^3-x}

Derivadas trigonométricas

Profundiza en cómo calcular la derivada del arcoseno con ejercicios resueltos paso a paso

\tiny \bg_red \fn_jvn senu\rightarrow u'cosu\\ cosu\rightarrow -u'senu\\ tgu\rightarrow \frac{u'}{cos^{2}u}=u'sec^{2}u= u'(1+tg^{2}u)\\ cotgu\rightarrow -\frac{u'}{sen^{2}u}=-u'cosec^{2}u=-u'(1+cotg ^{2}u)\\ secu\rightarrow \frac{u'senu}{cos^{2}u}=u'secutgu\\ cosecu\rightarrow \frac{-u'cosu}{sen^{2}u }=-u'cosecucotgu

f(x)=sen6x\rightarrow f'(x)=6cos6x

f(x)=senx^3\flecha derecha f'(x)=3x^2cosx^3

\fn_jvn f(x)=\frac{cos2x}{6}\rightarrow f'(x)={\frac{-1}{3}}sen2x

\fn_jvn f(x)=tg2x\rightarrow f'(x)=\frac{2}{cos^{2}2x}

\fn_jvn f(x)=cotg5x^3\rightarrow f'(x)=\frac{-15x^2}{sen^{2}5x^3}

\fn_jvn f(x)=secx^2\rightarrow f'(x)=\frac{2xsenx^2}{cos^{2}x^2}

\fn_jvn f(x)=cosec12x\rightarrow f'(x)=\frac{-12cos12x}{sen^{2}12x}

Y ahora te cuento unos cuantos ejercicios de derivadas de funciones trigonométricas inversas

\bg_red \fn_jvn arcsenu\rightarrow \frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}\\ arccosu\rightarrow \frac{-u'}{\sqrt{1-u^2}}\\ arctgu \rightarrow \frac{u'}{{1+u^2}}\\ arccotgu\rightarrow \frac{-u'}{1+u^2}\\ arcsecu\rightarrow \frac{u'}{u\ sqrt{u^2-1}}\\ arccoses\rightarrow \frac{-u'}{u\sqrt{u^2-1}}\\

\fn_jvn \small f(x)=arcsen(3x-2)\rightarrow \frac{3}{\sqrt{1-\left ( 3x-2 \right )^2}}

\fn_jvn f(x)=arctg5x^3\rightarrow \frac{15x^2}{1+25x^6}

\fn_jvn f(x)=arccosx^3\rightarrow \frac{-3x^2}{\sqrt{1-x^6}}

Ejercicios sobre la derivada de la función compuesta. Regla de la cadena

Esta es la fórmula que hay que utilizar, f(x)= g(h(x)). f'(x)=g'(h(x))·h'(x)

Sean las funciones reales de variable real h(x)=4x y g(x)=senx , la función compuesta (h∘g)(x)=h(g(x))=h(senx)=4senx , queremos calcular la derivada de esta función compuesta.

  • Hallamos en primer lugar las derivadas de h y g: h'(x)=4x ln4; g'(x)=cosx
  • A continuación g'(h(x))=g'(4x)=cos4x
  • Y sustituimos en la fórmula 4x ln4·cos4x

Cómo hacer la derivada de la función inversa

En este caso debes utilizar esta fórmula de derivadas de la función inversa (f-1)'(x)=1/(f'(f-1(x)))

Vamos a calcular la derivada de f(x)=arctgx;

  • Calculamos primero la función inversa, f-1 (x)=tgx.
  • Derivamos f(x); f'(x)=1/1+x2
  • Y aplicamos la fórmula (f-1)'(x)=1/(f'(tgx))=

\tiny \bg_red \fn_jvn senu\rightarrow u'cosu\\ cosu\rightarrow -u'senu\\ tgu\rightarrow \frac{u'}{cos^{2}u}=u'sec^{2}u= u'(1+tg^{2}u)\\ cotgu\rightarrow -\frac{u'}{sen^{2}u}=-u'cosec^{2}u=-u'(1+cotg ^{2}u)\\ secu\rightarrow \frac{u'senu}{cos^{2}u}=u'secutgu\\ cosecu\rightarrow \frac{-u'cosu}{sen^{2}u }=-u'cosecucotgu

\diminuto \bg_azul \bg_verde \fn_jvn (f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(tgx)}=\frac{1}{\frac{1}{1+tg^{2}x}}=1+tg^{2}x

Derivadas sucesivas

En aplicaciones de las derivadas, como calcular máximos y mínimos y los puntos de inflexión necesitas un concepto como el de las derivadas sucesivas.

No es más que derivar repetidamente las derivadas que vamos calculando, es decir, mira este ejemplo:

f(x)=5x4 +3x3 -2x2 +3x-2; realizamos la primera f'(x)=20x3 +9x2 -4x+3; ahora hacemos la segunda que no es más que derivar la primera, la simbolizas de esta forma f”(x)=60x2 +18x-4; ahora la tercera, f”'(x)=120x+18; y la cuarta fiv (x)=120, y podemos con la quinta fv (x)=0 y ya no podemos más porque todas serían 0.

Calculadora de derivadas. Derivadas online

Voy a darte referencias de páginas para que veas dónde puedes calcular derivadas y comprobar que las estás calculando están bien.

  • Calculadora de derivadas: esta página te proporciona la posibilidad resolver derivadas, de encontrar el resultado de la derivada, te da el desarrollo por pasos. Puedes calcular derivadas tanto las primeras, segundas…hasta la de quinto orden. Te da la posibilidad de hacer gráficas y además son interactivas. Lo único que no me gusta de este solucionador de derivadas es la interfaz para poder poner la derivada, no me gustan mucho los botones.
  • Symbolad derivadas: esta calculadora de derivadas de funciones te da la opción a encontrar tanto la solución como los pasos a seguir, tiene unos botones interactivos que te van a ayudar mucho a la hora de escribir las derivadas. Las soluciones son bastante claras y te aporta la gráfica de la función a integrar. Puedes hacer derivadas de distinto orden, en un punto en concreto, implícita incluso por definición.
  • Solumaths: página sencilla, eficaz, te da la solución y te resume los pasos a seguir, bastante resumido para mi gusto.

Calculadora de derivadas parciales

Te voy a recomendar esta página para que puedas solucionar derivadas parciales, aunque no el tema de este artículo, sí he visto que hay gente que me las pide. Pues, ahí va.

Calculadora de derivadas parciales: esta página te proporciona la posibilidad resolver derivadas parciales, de encontrar el resultado de la derivada, te da el desarrollo por pasos. Te da la posibilidad de hacer gráficas y además son interactivas. Lo único que no me gusta de este solucionador de derivadas parciales es la interfaz para poder poner la derivada, no me gustan mucho los botones.

También te puede interesar calculadora de integrales

Te proporciono también esta información sobre las calculadoras de integrales, así te será más cómodo y no perder tu preciado tiempo en búsquedas:

  • Calculadora de integrales: esta página te proporciona la posibilidad de encontrar el resultado de la integral, los pasos que hay que dar y además gráficas que te pueden ayudar a entender mejor el resultado. Puedes calcular integrales tanto definidas como indefinidas. Lo único que no me gusta es la interfaz para poder poner la integral, no me gustan mucho los botones.
  • Calculadora de integrales Symbolad: esta calculadora te da la opción a encontrar tanto la solución como los pasos a seguir, tiene unos botones interactivos que te van a ayudar mucho a la hora de escribir las integrales. Las soluciones son bastante claras y te aporta la gráfica de la función a integrar.
  • Wolframalpha: página sencilla, eficaz, te da la solución y te resume los pasos a seguir, bastante resumido para mi gusto.
  • Resolver integrales online con MathDF: es una página que debes aprender todos los botones que te ofrece para poder escribir bien las funciones a integrar. Te da la opción de poner límites a la integral. La verdad que no sería mi primera opción.

ASÍ DE FÁCIL

FAQ

¿Qué es la derivada y un ejemplo?

La derivada nos mide la variación que sufre un valor, en concreto la imagen de la función, f(x), a medida que nosotros incrementamos el valor de la variable x. En concreto nos basamos en datos infinitesimales, por este motivo utilizamos los límites cuando el incremento tiende a cero.

¿Qué son derivadas y para qué sirve?

Las derivadas son una potente herramienta matemática que nos proporcionan información sobre el comportamiento de funciones al variar su variable de forma infinitesimal. Se pueden aplicar en:
❇️ La Física.
❇️ Ingenierías.
❇️ Biología
❇️ Medicinas.

¿Cuántos tipos de derivadas hay?

Generalizando esta pregunta, puedes ver que existen los siguientes tipos de derivadas:
🌀 Derivadas ordinarias: las que normalmente se estudian en secundaria y bachillerato, están formadas por funciones reales de variable real.
🌀 Derivadas parciales: aquellas que están formadas por funciones de variables múltiples.
🌀 Derivadas direccionales.
🌀 Derivadas vectoriales.

¿Cómo explicar las derivadas?

Es fácil, aquí tienes las más características:
✅ Mediante la definición del límite.
✅ El cociente incremental entre la variación en el eje y cuando el eje x ha variado.
✅ La pendiente a la función de la recta tangente, que pasa por el punto estudiado.
✅ La tangente creada entre la recta tangente en un pùnto de la función y el eje de abscisas, x.

Si quieres mucha más información sobre el análisis matemático, solo tienes que clicar