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Ⓜ️ Derivada del arcoseno ⟪ ejercicios resueltos ⟫

por Pepe Peláez Torres julio 3, 2024
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¿Cuál es la derivada del arcoseno?

Derivada del arcoseno de x: es el cociente entre 1 y la raíz cuadrada de 1 menos x al cuadrado
Derivada del arcoseno de una función compuesta: en el numerador tienes la derivada de f(x) y en el denominador, la raíz cuadrada de 1 menos la función al cuadrado

Ejercicios resueltos de la derivada de arcoseno

A continuación verás una serie de ejercicios resueltos de la derivada del arcoseno de una función.

Domina la derivada del arcoseno con los ejercicios resueltos que te muestro. Accede a ejemplos claros y detallados para avanzar en tus estudios.

¿Cuál es la derivada del arcoseno de x?

¿Te preguntas cuál es la derivada del arcosen x? te ayudo a encontrar la respuesta detallada con explicaciones claras y ejemplos resueltos que facilitan tu aprendizaje.

\dpi{100} \small f(x)=arcsenx\rightarrow f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

¿Cuál es la derivada del arcoseno de 2x?

Después de ver la derivada de arcosen x, te explico cuál es la derivada del arcoseno de 2x y cómo calcularla paso a paso.

\dpi{100} \small f(x)=arcsen2x\rightarrow f'(x)=\frac{2}{\sqrt{1-\left ( 2x \right )^2}}

✅ TEN EN CUENTA ✅

  • f(x) es 2x
  • Su derivada es 2, por eso aparece en el numerador
  • Y en el denominador, siempre la raíz cuadrada de 1 menos la función al cuadrado, como la función es 2x, por eso está al cuadrado. También puedes poner 4x2

Derivar arcoseno de un polinomio

Sigue los siguientes pasos:

  • Identifica la función polinómica.
  • Deriva la función polinómica, si no te acuerdas aquí tienes una tabla de derivadas que te va a ayudar.
  • Y deriva según la fórmula del arcoseno de una función compuesta. Fíjate en la imagen.
derivada arcoseno por definición, derivada arcoseno de x al cuadrado, derivada arcoseno cuadrado


f(x) = arcsin(x^3 - 2x^2 + 3)
f'(x) = \frac{3x^2 - 4x}{\sqrt{1 - (x^3 - 2x^2 + 3)^2}}

✅ TEN EN CUENTA ✅

  • f(x) es x3-2x2+3
  • Su derivada es 3x2-4x, por eso aparece en el numerador
  • Y en el denominador, siempre la raíz cuadrada de 1 menos la función al cuadrado. También puedes poner el desarrollo de la expresión notable.
  • También en otras bibliografías te vas a encontrar con esta simbología: derivada de arcsin y derivada arc sen.

Te habrás dado cuenta que para saber derivar muy bien necesitas la teoría de las derivadas, aquí encontrarás más material para facilitarte el tema de derivadas

Ejemplos de la fórmula de la derivada de la función compuesta del arcoseno

¡ATENCIÓN!

«La función compuesta del arcoseno, denotada como arcsenf(x) o arcsinf(x), se define como la aplicación de la función arcoseno sobre otra función f(x)»

Es decir, a la hora de derivar, tenemos que diferenciar qué función, f(x), acompaña al arcoseno, y así tener en cuenta las propiedades de las derivadas para poder derivar bien. En este enlace sobre propiedades de derivadas vas a encontrar muchas guías explicadas paso a paso

Ejemplos de la regla de las derivadas de arcoseno de una exponencial

¿Cuál es la derivada del seno inverso? cuando hablo del seno inverso me refiero a el arcoseno de una función real de variable real.

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Ejercicios de la fórmula de la derivada del arcoseno de un logaritmo

\dpi{100} \small {\color{Red} f(x)=arcsen{lnx}}\rightarrow f'(x)=\frac{\frac{1}{x}}{\sqrt{1-ln^{2}x}}\newline {\color{Red} f(x)=arcsenlog_{2}{x}}\rightarrow f'(x)=\frac{\frac{1}{xln2}}{\sqrt{1-log_{2}^{2}x}} \newline {\color{Red} f(x)=arcsen(lnsenx)}\rightarrow f'(x)=\frac{\frac{cosx}{senx}}{\sqrt{1-ln^{2}senx}} \newline {\color{Red} f(x)=arcsen(ln(x^2-2))}\rightarrow f'(x)=\frac{\frac{2x}{x^2-2}}{\sqrt{1-ln^{2}\left ( x^2-2 \right )}} \newline {\color{Red} f(x)=arcsen(log_{3}(x^2-2))}\rightarrow f'(x)=\frac{\frac{2x}{(x^2-2)ln3}}{\sqrt{1-log_{3}^{2}\left ( x^2-2 \right )}} derivada arcsen, arcosen derivada

Regla de la derivada del arcoseno de una función trigonométrica Ejercicios resueltos

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La demostración de una derivada arcoseno no es relevante en este artículo, puesto que la demostración de la fórmula de la derivada del arcoseno es bastante teórica y no te la van a preguntar en los exámenes. Por lo tanto, la demostración de la fórmula del arcoseno derivada, no la voy a ver aquí 😉🤷‍♀️

Ejercicios resueltos de la derivada arcoseno y por definición

Descubre cómo se calcula la derivada arcoseno con nuestra detallada guía. Te Ofrezco explicaciones y ejemplos de derivada de la función arcoseno para ayudarte a entender este concepto crucial. Practica con nuestros ejercicios resueltos y perfecciona tus habilidades en análisis matemático.


f(x) = arcsin(x)
f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}


f(x) = \arcsin(2x) 
f'(x) = \frac{2}{\sqrt{1 - (2x)^2}} = \frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}

f(x) = \arcsin(x^2) 
f'(x) = \frac{2x}{\sqrt{1 - (x^2)^2}} = \frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}

f(x) = \arcsin(\sqrt{x}) 
f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x} \sqrt{1 - (\sqrt{x})^2}} = \frac{1}{2\sqrt{x} \sqrt{1 - x}}

 
f(x) = \arcsin(3x + 1) 
f'(x) = \frac{3}{\sqrt{1 - (3x + 1)^2}}


f(x) = \arcsin\left(\frac{1}{x}\right) 
f'(x) = \frac{-1}{x^2\sqrt{1 - \left(\frac{1}{x}\right)^2}} = \frac{-1}{x^2\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}} = \frac{-1}{x^2\sqrt{\frac{x^2 - 1}{x^2}}} = \frac{-1}{x\sqrt{x^2 - 1}}


f(x) = \arcsin(e^x) 
f'(x) = \frac{e^x}{\sqrt{1 - (e^x)^2}}


f(x) = \arcsin(\ln(x)) 
f'(x) = \frac{1}{x\sqrt{1 - (\ln(x))^2}}


f(x) = \arcsin(\sin(x)) 
f'(x) = \frac{\cos(x)}{\sqrt{1 - (\sin(x))^2}} = \frac{\cos(x)}{\sqrt{\cos^2(x)}} = 1


f(x) = \arcsin(\cos(x)) 
f'(x) = \frac{-\sin(x)}{\sqrt{1 - (\cos(x))^2}} = \frac{-\sin(x)}{\sqrt{\sin^2(x)}} = -1


f(x) = \arcsin(\tan(x)) 
f'(x) = \frac{\sec^2(x)}{\sqrt{1 - (\tan(x))^2}}

 
f(x) = \arcsin(x^3) 
f'(x) = \frac{3x^2}{\sqrt{1 - (x^3)^2}} = \frac{3x^2}{\sqrt{1 - x^6}}