Multiplicación De Matrices En 5 Minutos 🕒

Multiplicación de matrices ¿cómo se hacen las multiplicaciones de matrices? ¿cómo se calcula el producto de matrices?

Si estás en esta página seguro que te has hecho estas preguntas, no eres el único,

Además estás en la página adecuada porque te voy a enseñar desde cuándo se puede multiplicar matrices, cómo multiplicar matrices y todo paso a paso.

Contenidos que vas a ver

Multiplicación de una matriz por un escalar

Lo primero que te voy a descubrir es cómo multiplicar una matriz por un escalar, es muy fácil, solo tienes que multiplicar el escalar por cada elemento de la matriz, el resultado dejará una matriz de la misma dimensión que la inicial. Fíjate en la siguiente imagen.

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¿Cómo se hacen las multiplicaciones de matrices?

Si ya dominas la multiplicación por un escalar, es hora de abordar la pregunta clave: ¿cuándo puedes multiplicar matrices entre sí? 🤔 No te pierdas esta explicación fundamental, la base para avanzar sin errores en este tema. 💡

¿Cuándo se pueden multiplicar matrices?

En segundo lugar vamos a multiplicar matrices,

Debes saber que no todas las matrices se pueden multiplicar

¿Cómo? efectivamente

Solo se pueden multiplicar aquellas matrices que cumplen que las columnas de la primera matriz sea igual a las filas de la segunda, es decir, una matriz A_mxn se puede multiplicar con otra B_nxs . Fíjate en la imagen

Si te fijas el número de filas n de la primera matriz es igual al de filas de la segunda matriz, n

Ya sabes cuándo pero no sabes ni cómo ni qué matriz sale de resultado, vamos a ver, si las dos matrices tienen distinta dimensión ¿cuál es la matriz resultante de la multiplicación de matrices? pues mira, la nueva matriz tendría las filas de la primera y las columnas de la segunda.

Ahora que sabes cuándo puedes multiplicar matrices, es momento de aprender cómo hacerlo correctamente. ✔️ ¡No te arriesgues a cometer los errores más comunes! ⚠️ Sigue leyendo para descubrir el método paso a paso. 🚀

Cómo multiplicar matrices. ¿Cómo se hacen las multiplicaciones de matrices?

¿Cómo se calcula el producto de matrices?

Resultado del producto de matrices

Para explicarte cómo multiplicar las dos matrices voy a empezar con una matriz fila y otra columna, veamos el ejemplo, voy a multiplicar estas dos matrices:

Como puedes observar una matriz es de 1×3 y la otra de 3×1, coincide las filas de la primera con las columnas de la segunda, es decir, 3, como resultado ya debes saber que nos va a dar otra matriz de 1×1. Y lo vas a hacer de la siguiente forma, multiplicas los elementos de la fila por los de la columna, uno a uno, y después sumamos los resultados. ¿Cuál es el resultado del producto de matrices? Fíjate en la imagen cómo lo hago:

multiplicar matriz fila por matriz columna, esta es la matriz multiplicación

Venga vamos a dar un pasito más, aplicaremos lo que hemos aprendido pero en matrices mayores, por ejemplo, A_2×3 · B_3×4 = C_2×4 , aquí debes hacer lo siguiente en el producto de 2 matrices, operar de la misma manera que antes el elemento situado el la primera fila y la primera columna

Operando de la misma manera que antes el elemento situado en la 1ª fila y la 1ª columna, c₁₁ se calcula de la forma que aparece en la imagen, todos los demás elementos he puesto x porque no los he calculado aún.

Prosigamos, si quieres calcular el elemento situado en c₁₂ multiplica la 1ª fila por la 2ª columna y suma, mira qué resultado sale

producto de matrices, multiplicacion de matriz

Si seguimos calculando los demás de la misma manera, la multiplicación de las matrices quedaría:

Resultado

Comprueba tú mismo/a si los resultados te salen igual. Fíjate que la matriz resultante de la multiplicación de matrices es de 2 filas y 4 columnas.

¿Cansado/a de luchar con conceptos confusos y ejemplos complicados? 😣 No te preocupes más. Explora nuestras detalladas explicaciones sobre las 🧩 propiedades de las matrices y despídete del estrés. 💡

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Multiplicación de matrices calculadora

Si quieres hacer un producto matricial, introduce los datos de tus matrices y deja que la calculadora haga el trabajo pesado por ti. 📊 ¡Ahorrarás tiempo y evitarás errores! ¡Pruébala ahora y descubre lo fácil que es multiplicar matrices

Calculadora de Multiplicación de Matrices

Filas de la matriz A: Columnas de la matriz A:

Filas de la matriz B: Columnas de la matriz B:

Una calculadora es útil, pero la práctica lo es todo. ✍️ Resuelve estos ejercicios, ya corregidos y paso a paso, para consolidar tu aprendizaje. 💪 ¡No te saltes este paso! 🔑

Cómo se Multiplican matrices ejercicios resueltos

Relación de ejercicios para que veas cómo se resuelven paso a paso.

Multiplicación de matrices 2×2. Multiplicación de matrices 2×3 y 3×2

A_2×2 · B_2×3 = C_2×3

$\small \bg_red \fn_jvn \LARGE \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1\\ 2 & 3 & 0 \end{pmatrix} = \newline= \begin{pmatrix} 2 & 4 & -1\\ -2 &-3 &0 \end{pmatrix}$

A_1×2 · B_2×2 = C_1×2

$\bg_red \fn_jvn \LARGE \bg_red \fn_jvn \LARGE \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 \end{pmatrix}$

A_2×3 · B_3×1 = C_2×1

$\bg_red \fn_jvn \LARGE \bg_red \fn_jvn \LARGE \bg_red \fn_jvn \LARGE \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$

Consideremos las siguientes matrices $A$ y $B$ :

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{pmatrix}$

Queremos calcular el producto $A \times B$ .El producto de una matriz $A$ de dimensión $2 \times 3$ y una matriz $B$ de dimensión $3 \times 2$ nos dará una matriz resultante $C$ de dimensión $2 \times 2$ , donde cada entrada de $C$ se calcula de la siguiente manera:

$C = A \times B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{pmatrix}$

Realizando las multiplicaciones y sumas correspondientes, obtenemos:

$C = \begin{pmatrix} 1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 11 & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 12 \\ 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11 & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 10 + 6 \cdot 12 \end{pmatrix}$

$C = \begin{pmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{pmatrix}$

Por lo tanto, el resultado de la multiplicación de $A$ por $B$ es:

$C = \begin{pmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{pmatrix}$

Ahora que dominas la multiplicación de matrices 2×2, es hora de subir el nivel. 📈 El reto está en las matrices 3×3, pero con la base correcta, ¡lo conseguirás sin problemas! 💡

Multiplicación de matrices 2×2 y 2×1

Consideremos las siguientes matrices $A$ y $B$ :

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

Queremos calcular el producto $A \times B$ .El producto de una matriz $A$ de dimensión $2 \times 2$ y una matriz $B$ de dimensión $2 \times 1$ nos dará una matriz resultante $C$ de dimensión $2 \times 1$ , donde cada entrada de $C$ se calcula de la siguiente manera:

$C = A \times B = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

Realizando las multiplicaciones y sumas correspondientes, obtenemos:

$C = \begin{pmatrix} a \cdot x + b \cdot y \\ c \cdot x + d \cdot y \end{pmatrix}$

Por lo tanto, el resultado de la multiplicación de $A$ por $B$ es:

$C = \begin{pmatrix} a \cdot x + b \cdot y \\ c \cdot x + d \cdot y \end{pmatrix}$

Multiplicación de matrices 3×3 y 3×1

A_2×3 · B_3×3 = C_2×3

$\small \bg_red \fn_jvn \LARGE \bg_red \fn_jvn \LARGE \bg_red \fn_jvn \LARGE \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1& 3\end{pmatrix} = \newline= \begin{pmatrix} 2 & 1 & -3 \\ 1 & 2 & 6 \end{pmatrix}$

A_4×1 · B_1×4 = C_4×4

$\small \bg_red \fn_jvn \LARGE \bg_red \fn_jvn \LARGE \bg_red \fn_jvn \LARGE \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \newline=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 0 & -2 \\ \end{pmatrix}$

2/3 · B_2×2 = C_2×2

$\bg_red \fn_jvn \LARGE \frac{2}{3}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \\ 0 & \frac{-1}{3} \end{pmatrix}$

A_2×2 · B_2×2 = C_2×2

$\bg_red \fn_jvn \LARGE \begin{pmatrix} -1 & 0\\ 1 & 2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -1 & 0\\ 1 & 2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 4 \end{pmatrix}$

A_3×3 · B_3×3 = C_3×3

$\bg_red \fn_jvn \LARGE \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 1 & 2 & 0\\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 1 & 2 & 0\\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 3 & 4 & 0\\ 5 & 5 & 9 \end{pmatrix}$

3· A_2×2 · (-2)·B_2×3 = C_2×3

$\bg_red \fn_jvn \LARGE 3\cdot \begin{pmatrix} -1 & 0\\ 1 & 2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1\\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -3 & 0\\ 3 & 6 \end{matrix} \cdot \begin{pmatrix} -4 & -2 & 2\\ 2 & 0 & -4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 12 & 6 & -6\\ 0 & -6 & -18 \end{matrix}$

A_1×3 · B_3×3 = C_1×3

$\bg_red \fn_jvn \LARGE \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 & -1 & -3 \end{pmatrix}$

Consideremos las siguientes matrices $A$ y $B$ :

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

Queremos calcular el producto $A \times B$ .El producto de una matriz $A$ de dimensión $3 \times 3$ y una matriz $B$ de dimensión $3 \times 1$ nos dará una matriz resultante $C$ de dimensión $3 \times 1$ , donde cada entrada de $C$ se calcula como la suma de los productos de los elementos de la fila de $A$ por los elementos de la columna de $B$ :

$C = A \times B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

Realizando las multiplicaciones y sumas correspondientes, obtenemos:

$C = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot (-1) \\ 4 \cdot 1 + 5 \cdot 0 + 6 \cdot (-1) \\ 7 \cdot 1 + 8 \cdot 0 + 9 \cdot (-1) \end{pmatrix}$

$C = \begin{pmatrix} 1 + 0 - 3 \\ 4 + 0 - 6 \\ 7 + 0 - 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}$

Por lo tanto, el resultado de la multiplicación de $A$ por $B$ es:

$C = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}$

Multiplicación de 3 matrices

Consideremos las siguientes matrices $A$ , $B$ y $C$ :

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Queremos calcular el producto $A \times B \times C$ .Primero, calculamos el producto $A \times B$ :

$A \times B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 & 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 \\ 0 \cdot 2 + 1 \cdot 3 & 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \\ 4 \cdot 2 + 3 \cdot 3 & 4 \cdot 1 + 3 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 1 \\ 3 & 0 \\ 17 & 4 \end{pmatrix}$

Ahora, multiplicamos el resultado por $C$ :

$(A \times B) \times C = \begin{pmatrix} 8 & 1 \\ 3 & 0 \\ 17 & 4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \cdot 1 + 1 \cdot 0 & 8 \cdot 2 + 1 \cdot 1 \\ 3 \cdot 1 + 0 \cdot 0 & 3 \cdot 2 + 0 \cdot 1 \\ 17 \cdot 1 + 4 \cdot 0 & 17 \cdot 2 + 4 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 17 \\ 3 & 6 \\ 17 & 38 \end{pmatrix}$

Por lo tanto, el resultado de la multiplicación de $A \times B \times C$ es:

$\begin{pmatrix} 8 & 17 \\ 3 & 6 \\ 17 & 38 \end{pmatrix}$

Multiplicación de matrices cuadradas

Consideremos las siguientes matrices cuadradas $A$ y $B$ , ambas de dimensión $2 \times 2$ :

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$

Queremos calcular el producto $A \times B$ .El producto de dos matrices cuadradas de $2 \times 2$ se obtiene multiplicando las filas de la primera matriz por las columnas de la segunda matriz, como sigue:

$A \times B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1 \cdot 5 + 2 \cdot 7) & (1 \cdot 6 + 2 \cdot 8) \\ (3 \cdot 5 + 4 \cdot 7) & (3 \cdot 6 + 4 \cdot 8) \end{pmatrix}$

Realizando las multiplicaciones y sumas correspondientes, obtenemos:

$A \times B = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$

Por lo tanto, el resultado de la multiplicación de $A$ por $B$ es:

$\begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$

EVAU Matemáticas matrices

Dada la matriz

$M = (\begin{matrix} -2 \\ -1 \end{matrix})$ se pide:

a) Realiza el producto $M ∙ M^{t}$ (siendo $M^{t}$ la matriz transpuesta de M). (0.5 puntos)

Dada la matriz:

$M = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \end{pmatrix}$

Que es un vector columna y su transpuesta:

$M^t = \begin{pmatrix} -2 & -1 \end{pmatrix}$

Realizamos el producto:

$M \cdot M^t = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 & -1 \end{pmatrix}$

Este producto da como resultado:

$M \cdot M^t = \begin{pmatrix} (-2) \times (-2) & (-2) \times (-1) \\ (-1) \times (-2) & (-1) \times (-1) \end{pmatrix}$

Calculamos los productos:

$M \cdot M^t = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

Resultado:

$M \cdot M^t = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

La multiplicación de matrices tiene una serie de propiedades importantísimas que debes conocer.

Si ya sabes multiplicar matrices, es importante entender las propiedades que rigen este proceso. 🔄 Aprender estas propiedades te dará una visión más completa y te ayudará a evitar errores frecuentes. ❌ ¡No te lo pierdas!

Propiedades de la multiplicación de matrices

Si te has preguntado alguna vez o buscas respuestas a ¿cuáles son las propiedades de la multiplicación de matrices? o ¿cuál es el elemento neutro de la multiplicación de matrices? o ¿qué es la ley asociativa para la multiplicación de matrices? te lo voy a descubrir, sigue leyendo y aplicando.

Conocer las propiedades es clave, y la propiedad asociativa es una de las más importantes. 🧠 Veamos si se cumple con el producto de matrices. No puedes seguir adelante sin entenderlo. ✅

¿Cumple el producto de matrices la propiedad asociativa?

Depende de la dimensión de las matrices. Atención, no te líes, todo lo que te voy a decir es sobre matrices cuadradas de orden n.

Sean tres matrices A, B, C cuadradas de orden n, entonces se cumple que (A·B)·C= A·(B·C).

➪➪➪ Entonces podemos decir que se cumple siempre y cuando no cambies el orden de las matrices al multiplicar.

Ahora que comprendes la propiedad asociativa, es hora de abordar la gran pregunta: ¿se cumple la propiedad conmutativa? 🔄 Esto suele ser fuente de confusión. 🤔 Vamos a despejar todas tus dudas. 💡

La propiedad conmutativa se cumple ¿o no?

Si tenemos dos matrices cuadradas del mismo orden, A y B, podemos decir que la propiedad conmutativa

A·B= B·A

no se cumple en muchas ocasiones pero sí es cierto que algunas otras se puede cumplir, de hecho la mayoría de los ejercicios que te vayan a poner sobre conmutación del producto de matrices estarán referidas a esta pregunta.

¿Propiedad conmutativa aclarada? ✅ Entonces pasemos a un concepto esencial: el elemento neutro en la multiplicación de matrices. 🟢 Sin este, tu comprensión quedaría incompleta. 🚫 ¡Vamos a descubrirlo! 🔍

Elemento neutro de la multiplicación de matrices

Por definición el elemento neutro de una matriz cuadrada de orden n sería otra matriz, cuadrada del mismo orden, que al multiplicarla nos da la propia matriz, ¿cómo?

Mira A·B=A, esta matriz B sería la matriz identidad, pero la matriz identidad (I_n) del mismo orden.

Ahora que has llegado hasta aquí, es momento de poner en práctica lo aprendido. 📝 ¿Tienes alguna duda o quieres compartir tu experiencia? 💬 Deja tu respuesta y sigue mejorando tu comprensión de las matrices. 💪

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