Qué Es Una Matriz Ortogonal

Las matrices ortogonales te están creando problemas, no te preocupes, no eres la única persona. No te preguntes más sobre cómo hacer una matriz ortogonal, en esta página vas a ver la definición y la relación que tienen con la inversa de una matriz.

También verás varios ejemplos. Además, te enseñaré a crearlas. Y como no, las propiedades.

Descubre conmigo esta maravillosa historia, vamos. En primer lugar hazte esta pregunta:

Contenidos que vas a ver

¿Cómo saber si una matriz es ortogonal?

Empiezo con esta pregunta ¿puede ser cualquier matriz, ortogonal? la respuesta es no. Para ello debe cumplirse que la matriz sea cuadrada, con números reales, y además que A·A^t = A^t·A=I, siendo A^t la matriz traspuesta de A e I, la matriz identidad del mismo orden que A. Así, sí.

Una vez que ya sabes lo que es, ¿qué puedes hacer con este tipo de matrices? pues mira:

Inversa de una matriz ortogonal

La verdad que la definición anterior es fácil de comprender, pero hay una relación directa entre ellas y la inversa de su matriz, ¿quieres saber cuál es? pues vamos a ello.

Por lo tanto una matriz A ortogonal siempre va a ser regular o singular.

¿Cansado/a de luchar con conceptos confusos y ejemplos complicados? 😣 No te preocupes más. Explora nuestras detalladas explicaciones sobre las 🧩 propiedades de las matrices y despídete del estrés. 💡

Ejercicios resueltos de matrices ortogonales de 2×2 y 3×3

A continuación resolveré dos ejercicios clásicos:

Ejemplo de 2×2

Comprobar que la matriz A es una matriz ortogonal aplicando la definición.

$A=\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

la matriz traspuesta de A es $A^{t}=\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ y su producto es

$A\cdot A^{t}=\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Ejemplo de 3×3

Comprobar si esta matriz es ortogonal

$A=\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & 0\\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0\\ 0 & 0 &-1 \end{pmatrix}$

Comprobamos si al multiplicar esta matriz por su traspuesta nos da la matriz identidad del mismo orden que A

$A^{t}=\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0\\ \frac{-\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0\\ 0 & 0 &-1 \end{pmatrix}$

$A\cdot A^{t}=\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & 0\\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0\\ 0 & 0 &-1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0\\ -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0\\ 0 & 0 &-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{2}{4}+\frac{2}{4} & \frac{2}{4}-\frac{2}{4} & 0\\ \frac{2}{4}-\frac{2}{4} & \frac{2}{4}+\frac{2}{4} & 0\\ 0 & 0 &-1 \end{pmatrix}=\\$

$=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

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¿Cómo se calcula una matriz ortogonal 2×2?

Tenemos una matriz A de orden 2 que debe cumplir las condiciones.

Operamos e igualamos cada elemento de un miembro por el homólogo del otro miembro, así creamos un conjunto de ecuaciones.

Aquí aplico la trigonometría pitagórica asignado los valores a las incógnitas a, b, c y d.

Recuerda que la tangente de cualquier ángulo es igual al cociente entre el seno y coseno del mismo ángulo.

Igualando de forma apropiada tenemos estas posibilidades de c y d.

Si quieres saber qué tipo de estructuras tiene la matriz A o posibilidades fíjate en la siguiente imagen:

¿Cuál es la determinante de una matriz ortogonal?

Esta es una de las propiedades que mejor se demuestran, fíjate y verás que tengo razón.

Toda matriz ortogonal cumple su definición, obviamente, es decir,A·A^t = A^t·A=I, si tomamos el determinante a ambos lados de la igualdad tenemos, |A·A^t|= |A^t·A|=| I |; el determinante de un producto es igual al producto de los determinantes, mira como lo hago; |A|·|A^t|= | I |, como también ocurre que A=A^t tenemos|A|·|A|= | I |;|A|² = | I | ;|A|² = 1;|A|= ±1.