Matriz inversa…¡UFFFFF! …Siempre que nos enfrentamos a una herramienta matemática numérica aparecen las típicas operaciones de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, pero en el caso de las matrices ¿cómo se dividen las matrices? o ¿cómo se divide una matriz entre otra?
Contenidos que vas a ver
¿Qué es la matriz inversa?
La verdad que no nos podemos plantear la operación de la división como hemos estudiado las otras operaciones.
¿Y qué debemos hacer? pues definirla, pero¿Cómo se invierte una matriz? o ¿Cuál es la inversa de una matriz? bien, en primer lugar su simbología es, A-1 , y por definición una matriz es inversa de otra A, si se cumple que A · A-1 = A-1 · A = I, siendo I la matriz identidad.
¿Cuándo una matriz no tiene inversa?
Ahora bien, te voy a hacer la siguiente pregunta¿cómo saber si existe la inversa de una matriz?, mira se debe cumplir que la matriz sea cuadrada y que el determinante de la misma sea distinto de 0, en tal caso existe la matriz inversa.
Ok, todo perfecto, ahora ya sé la definición, ya sé cuándo existe, bueno solo me falta ¿cómo calcular la matriz inversa? y eso es lo que vamos a hacer a continuación.
5 Propiedades de las matrices inversas que no debes ignorar
¿Cuáles son las propiedades de la inversa? vamos a ver las que más te interesan
Una matriz A es regular (tiene inversa) si, y solamente si, su determinante es distinto de 0
Si A y B son dos matrices con inversa, se cumple que (A·B)-1 = B-1 · A-1
Sea A una matriz regular cuya inversa es A-1 , se cumple que (At )-1 =(A-1 )t
Sea A una matriz regular con inversa A-1 , entonces (A-1 )-1 =A
Sea K un escalar y A una matriz regular, entonces se cumple que (K·A)-1 = K-1 · A-1 . Su demostración es directa al ser K un escalar.
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¿Cómo calcular la inversa de una matriz 2×2? Empieza por lo fácil.
Empecemos por una matriz de 2×2, entonces por definición tenemos que calcular una matriz donde sus 4 elementos los llamamos a, b, c y d, y se cumpla, bueno mira la imagen:
Como puedes comprobar, necesitas saber quiénes son a, b, c y d para que se cumpla la igualdad.
Esto lo vas a conseguir multiplicando las dos matrices e igualando el elemento fila y columna con su correspondiente en el otro miembro de la igualdad.
Creamos un sistema de ecuaciones que nos permitirá saber los valores que buscamos.
Resolviendo las ecuaciones nos quedan los siguientes valores: a=-4/39; b=-1/78; c=-1/13 , d=9/78, por lo tanto, tenemos:
Comprobar matriz inversa 2×2
Pero¿cómo comprobar si la inversa está bien? buena pregunta, pues muy fácil seguimos la definición, si multiplicamos la matriz por su inversa nos debe dar la identidad de orden 2, vamos a resolverlo y lo comprobamos:
Matriz inversa Gauss
Otra forma de hacerlo es calculandola por Gauss, vamos a ver como se hace. Elegimos otra matriz por ejemplo la que tienes en la siguiente imagen y la colocamos junto con la matriz identidad de la siguiente forma:
El objetivo es mediante operaciones entre las filas o columnas conseguir que la matriz identidad quede en la parte contraria a la que aparece.
Mira cómo lo hago:
Fíjate que gracias a las operaciones que hemos hecho entre las filas la matriz identidad queda ahora a la izquierda, entonces la otra matriz es la inversa.
Invertir una matriz por el método de determinantes. Matriz adjunta
Bueno pues aún queda otra forma que voy a recomendarte que es por determinantes, esta quizás sea la más utilizada, para ello debes saber cómo se hacen los determinantes y los adjuntos de una matriz, además del concepto de la matriz traspuesta.
Comenzamos
La fórmula que nos va a proporcionar la inversa de la matriz A es la siguiente:
Da igual hacer primero los adjuntos de la matriz y luego trasponer la matriz que hacer primero la trasposición de la matriz y luego hacer los adjuntos.
Para ello tienes la misma matriz del ejercicio anterior, lo primero que debes hacer es el determinante, porque para que una matriz tenga inversa se debe cumplir que el valor del determinante sea distinto de cero:
Ves que es distinto de cero, pues seguimos. Te voy a dar todos los datos de la matriz adjunta y luego los traspongo, y finalmente los dividimos por el valor del determinante, si tienes problemas al calcular la matriz adjunta en el siguiente apartado, matriz inversa 3×3, te lo explico paso a paso.
Y ahora te pregunto ¿y si la matriz es de 3×3? pues mira, al aumentar el orden de la matriz hay métodos que no son recomendables, como por ejemplo el primer método, nos quedarían muchas incógnitas con 9 ecuaciones y esto no dificulta bastante el cálculo.
Y ¿qué te recomiendo? hacerlo de la última forma. Veamos un ejemplo.
Matriz inversa 3×3
¿Cómo calcular la inversa de una matriz de 3×3? mira lo vamos a resolver de tres formas, la primera con la fórmula, la segunda por el método de Gauss y la tercera con la calculadora. Vamos a ello.
Empezamos calculando el adjunto de una matriz inversa 3×3,
- Debes entender que cada elemento de la matriz tiene su propio adjunto, es decir, que el adjunto depende de la fila y columna que ocupa.
- Se simboliza como Aij
- La fórmula es Aij = (-1)i+j · cij , siendo cij el menor complementario de fila i y columna j.
- ¿Qué es el complementario de un elemento? mira sería el determinante que se obtiene de quitar la fila i y la columna j.
Vamos a verlo en un ejemplo y verás que no es tan dificil:
Vamos paso a paso, lo único que hemos hecho es establecer en cada lugar de la matriz la fórmula que debemos desarrollar, pero quién es c11 o c12 o…, observa cómo los calculo:
Si hacemos esto con todos los demás menores complementarios creamos la matriz adjunta de A, cuyo resultado es el que ves en la imagen de la izquierda. Ahora lo que tienes que hacer es trasponer esta matriz adjunta.
Esta es la matriz traspuesta de la matriz adjunta. A continuación siguiendo lo que nos dice la fórmula debemos dividir cada término por el valor del determinante de la matriz A
Aquí tenemos la matriz inversa de A de orden 3
Calcular la matriz inversa 3×3 por el método de Gauss
Calculemos la inversa del ejercicio anterior por el método de gauss. Fíjate en todas las imágenes y verás el resultado.
¿Qué es una matriz inversa ejemplos?
Calculadora de matrices inversas
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7 Propiedades de la matriz inversa 🧠🔢. Operaciones con matrices
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¿Cuáles son las propiedades de la matriz inversa?
Sean A y B MATRICES CUADRADAS de orden n y 𝛂 ∈ 𝓡. La matriz que tiene inversa se le denomina matriz regular.
- A-1 es única, solo existe una única matriz inversa.
- (A-1)-1= A
- (AB)-1=B-1A-1
- (𝛂A)-1=(1/𝛂)A-1
- (An)-1=(A-1)n
- (AT)-1=(A-1)T
- A-1=
siendo Adj(A) la adjunta de la matriz A
siendo Adj(A) la adjunta de la matriz A