Matriz Diagonal | 7 Tipos De Matrices Cuadradas

Una matriz diagonal es una matriz cuadrada en la que todos los elementos fuera de la diagonal principal son cero

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¿Qué es una matriz diagonal?

La vamos a definir desde dos puntos de vista, la primera es que es toda aquella matriz cuadrada donde los elementos que no pertenecen a la diagonal principal son ceros, como puedes observar cada vez hay más términos y más conceptos del diccionario matrices y para que no te quedes atrás…

Cómo podríamos definirla también, pues te comento, serían aquellas matrices cuadradas donde los elementos que tienen la fila, i, y la columna, j, son distintas, por lo tanto los elementos de la diagonal principal tiene valores distintos de cero.

Una vez que ya sabes cuando una matriz es diagonal te voy a dar más datos importantes.

¿Cómo se determina la matriz diagonal?

Aquí en este apartado te voy a poner ejemplos de matrices diagonales de distinto orden.

Ejemplo de matriz diagonal 2×2

En primer lugar vas a ver una matriz de orden 2, fíjate en los elementos que no pertenecen a la diagonal principal.

matrices diagonales de orden 2

Ejemplo de matriz diagonal 3×3

Ahora tenemos una matriz diagonal de orden 3 y observa si es o no lo es.

matriz diagonal 3×3

Efectivamente sí lo es, porque todos los elementos que no pertenecen a la diagonal principal son ceros y los que pertenecen a la diagonal principal son números distintos de cero, pero hazte ahora la siguiente pregunta, ¿puede haber 0, en la diagonal principal?. Mira este ejemplo:

de orden 3

Pues claro que se puede, no hay una regla que te diga que no puede haber algún elemento de la diagonal principal cero.

Ejemplo de matriz diagonal 4×4

Subamos la apuesta y te voy a poner un ejemplo de matriz diagonal de orden 4

Estos tipos de matrices cuadradas tienen varias aplicaciones y operaciones como sumas y restas de forma bastante fácil, calcular el determinante de una matriz diagonal, que es simplemente una multiplicación entre pocos números. También podemos invertirlas. Las propiedades son importantes así como sus aplicaciones:

agosto 18, 2024

Potencia de una matriz diagonal

Pepe Peláez Torres

agosto 18, 2024

Determinante de una matriz diagonal

Pepe Peláez Torres

agosto 15, 2024

Inversa de una Matriz Diagonal

Pepe Peláez Torres

Matriz diagonal propiedades

Autovalores: Los autovalores de una matriz diagonal son precisamente los elementos de su diagonal. Esto simplifica enormemente el análisis espectral de matrices.
La adjunta de una matriz diagonal, también es una matriz diagonal.
La matriz identidad y la matriz nula también son matrices diagonales.
Cualquier matriz diagonal es una matriz simétrica.
Una matriz diagonal es una matriz triangular superior e inferior a la vez.

Operaciones matrices diagonales

Suma de Matrices Diagonales

Para sumar dos matrices diagonales, simplemente sumamos los elementos correspondientes de la diagonal principal, ya que los demás elementos son cero y no afectan la suma.

Ejemplo de Suma de Matrices Diagonales:

Consideremos las matrices diagonales:

(1) $\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \end{equation*}$

, B=

(2) $\begin{equation*} \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix} \end{equation*}$

La suma de A y B es C=A+B=

(3) $\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1+4 & 0+0 & 0+0 \\ 0+0 & 2+5 & 0+0 \\ 0+0 & 0+0 & 3+6 \end{pmatrix} \end{equation*}$

(4) $\begin{equation*} \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix} \end{equation*}$

La matriz resultante C también es diagonal, y los elementos en su diagonal principal son las sumas de los elementos correspondientes en las diagonales principales de A y B.

Multiplicación de Matrices Diagonales

Cuando multiplicamos dos matrices diagonales, el resultado es otra matriz diagonal donde cada elemento de la diagonal principal es el producto de los elementos correspondientes en las diagonales principales de las matrices originales.

Ejemplo de Multiplicación de Matrices Diagonales:

Tomemos las mismas matrices A y B de antes

El producto de A y B es D=A×B=

(5) $\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 \times 4 & 0 \times 0 & 0 \times 0 \\ 0 \times 0 & 2 \times 5 & 0 \times 0 \\ 0 \times 0 & 0 \times 0 & 3 \times 6 \end{pmatrix} \end{equation*}$

(6) $\begin{equation*} \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 10 & 0 \\ 0 & 0 & 18 \end{pmatrix} \end{equation*}$

Como se puede observar, la matriz resultante D es otra matriz diagonal, con los elementos de su diagonal principal como el producto de los elementos en las diagonales principales de A y B

Aplicaciones Prácticas de las Matrices Diagonales

Las matrices diagonales tienen múltiples aplicaciones, tanto en matemáticas puras como en áreas aplicadas, aquí tienes algunos ejemplos de matriz diagonal.

1. Sistemas Lineales de Ecuaciones: Cuando el sistema tiene una matriz de coeficientes diagonal, cada ecuación se puede resolver independientemente, simplificando enormemente el proceso.

2. Transformaciones Lineales: En geometría, una matriz diagonal representa estiramientos o compresiones a lo largo de los ejes coordenados. Esto es útil en gráficos por computadora y en la visualización de datos.

3. Análisis de Varianza y Covarianza: En estadística multivariante, una matriz diagonal en la matriz de covarianza indica que las variables son independientes, lo cual simplifica el análisis.

Consejos y Estrategias para la Enseñanza de Matrices Diagonales

Con más de 30 años de experiencia enseñando matemáticas, he desarrollado varias estrategias efectivas para enseñar el concepto de matrices diagonales:

1. Introducción Progresiva: Es crucial comenzar con ejemplos sencillos, mostrando matrices 2×2 y 3×3 donde la diagonalización es evidente. A medida que los estudiantes se familiarizan con estos conceptos, se introducen matrices más complejas.

2. Uso de Software Educativo: Herramientas como MATLAB o Wolfram Alpha pueden ser útiles para que los estudiantes visualicen matrices diagonales y comprendan el proceso de diagonalización de manera interactiva.

3. Aplicaciones Reales: Demostrar cómo las matrices diagonales se utilizan en áreas como la física, la economía o la ingeniería puede motivar a los estudiantes, mostrando la relevancia del concepto más allá del aula.

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Fíjate en los elementos situados en la misma fila y columna, es decir, los a₁₁ , a₂₂ …, a_nn , es la zona sombreada. Es importante que sepas manejar las filas y las columnas sobre todo para calcular el rango de una matriz