Cómo Resolver Ecuaciones Matriciales De 2º Bachillerato.

Si ya son difíciles las ecuaciones ahora nos ponen matrices para poder resolverlas, bueno si estás aquí es porque te has preguntado ¿cómo resolver las ecuaciones matriciales? o porque tienes la duda de cómo despejar una incógnita en los sistemas de ecuaciones matriciales.

Estás en el lugar idóneo, estas y otras preguntas te las voy a resolver, no te preocupes que tus dudas son muy comunes y aquí estoy yo para descubrirte cómo se resuelven. Fíjate y sigue leyendo.

Contenidos que vas a ver

¿Cómo resolver ecuaciones matriciales?

En primer lugar ¿qué es una ecuación matricial? simplemente es una ecuación donde los coeficientes son matrices y el resultado de la incógnita también es una matriz. Mira este ejemplo:

Normalmente son ecuaciones y sistemas de ecuaciones de primer grado, en eso puedes estar tranquilo/a. ¿Qué necesitas saber para solucionar este tipo de ejercicios? necesitas saber resolver operaciones con matrices, alguna propiedad que otra de las matrices como por ejemplo de la matriz inversa, calcular la matriz inversa y otros tipos de matrices y por supuesto despejar bien las variables.

Ecuaciones matriciales resueltas paso a paso

Es bueno que siempre empieces despejando la variable X de la ecuación matricial, pero no se despeja de la misma manera que en las ecuaciones convencionales, debes tener en cuenta que la propiedad conmutativa del producto de matrices no se suele cumplir y la división como tal, tampoco existe en las matrices.

Pero, debes dar los siguientes pasos:

Cómo despejar la incógnita en las ecuaciones matriciales

Utilizamos el ejemplo de la imagen anterior:

Observa que no he sustituido ninguna matriz por sus valores

Ahora para despejar X debes eliminar la matriz A, pero cómo lo harías, mira la matriz A está multiplicando a X y no puede pasar al otro miembro dividiendo porque la división de matrices no existe como tal. ¿Y entonces qué haría? pues mira vamos a utilizar dos propiedades de las matrices, una el elemento neutro del producto de matrices, que es la matriz identidad del mismo orden I, otra la definición de matriz inversa A·A^-1 = A^-1·A= I, mira cómo lo hago:

Fíjate en un detalle,

he multiplicado cada miembro de la ecuación por A^-1

Y te preguntarás ¿Por qué has multiplicado por A^-1 ? enseguida te lo digo, lo que tienes que tener claro es que si multiplicas un miembro por un valor el otro miembro debe ser multiplicado por el mismo valor para que obtengamos una ecuación equivalente a la nuestra y no cambie.

Otra cosa que no debe pasar desapercibida es que si te fijas he multiplicado por A^-1 a la izquierda de cada miembro, y eso es debido a que la propiedad conmutativa de la multiplicación de matrices no se suele cumplir. Es decir, si multiplicas a la derecha la matriz inversa, en el otro miembro también y si es a la izquierda en el otro miembro igual.

Volvamos a la pregunta¿Por qué has multiplicado por A^-1 ? mira el por qué:

Según la definición de matriz inversa A·A^-1 = I y que la matriz identidad, I, es el elemento neutro de la multiplicación de matrices, nos queda X despejada.

¿Y ahora qué?. Pues sustituimos las matrices por sus valores y operamos de forma correcta para calcular X.

ejemplo resuelto de ecuaciones con matrices

Bueno aquí has visto los pasos a seguir y es lo que te recomiendo hacer con este tipo de ejercicios. Solo te falta hacer más y yo te voy a ayudar. Sigue leyendo y verás muchos más.

¿Cansado/a de luchar con conceptos confusos y ejemplos complicados? 😣 No te preocupes más. Explora nuestras detalladas explicaciones sobre las 🧩 propiedades de las matrices y despídete del estrés. 💡

Ecuaciones matriciales ejercicios resueltos.

Ahora vas a ver ejercicios de ecuaciones matriciales, observa todos los detalles.

Ejercicio 1

M= $\fn_jvn \LARGE \begin{pmatrix} -2 & -3\\ 1 & 1 \end{pmatrix}\\$ N= $\fn_jvn \LARGE \begin{pmatrix} 1 & -2\\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ Calcular MX=N

Primero despejamos la X, antes de sustituir las matrices, para ello multiplicamos primero por la inversa de M, M^-1 · M · X= M^-1 ·N ⇒ I·X=M^-1 ·N ⇒ X=M^-1 ·N.
Calculamos M^-1 ;

$\fn_jvn \LARGE \begin{vmatrix} -2 & -3\\ 1 & 1 \end{vmatrix}= -2-(-3)=1$ ;

Adjunta de M; adj(M)= $\fn_jvn \LARGE \begin{pmatrix} 1 & -1\\ 3 & 2 \end{pmatrix}$

Traspuesta de la adjunta $\fn_jvn \LARGE \begin{pmatrix} 1 & 3\\ -1 & -2 \end{pmatrix}$ ;

La inversa es $\fn_jvn \LARGE M^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 3\\ -1 & -2 \end{pmatrix}$

Sustituimos en X=M^-1 ·N, con el objetivo de calcular X;

$\fn_jvn \small X=\begin{pmatrix} 1 & 3\\ -1 & -2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & -2\\ 1 & -1 \end{pmatrix}=\newline=\begin{pmatrix} 4 & -5\\ -3 & 4 \end{pmatrix}$

Ejercicio 2

$\fn_jvn \small B=\begin{pmatrix} -2 & 2\\ 0 & 2 \end{pmatrix}\rightarrow X\cdot B=\begin{pmatrix} 2 & 4 \end{pmatrix}$

Primero despejamos la X, antes de sustituir las matrices, para ello multiplicamos primero por la inversa de B, X·B·B^-1 = (2 4)·B^-1⇒ X·I=(2 4)·B^-1 ⇒ X=(2 4)·B^-1
Calculamos B^-1 ;

$\fn_jvn \LARGE \begin{vmatrix} 2 & 0\\ -2 & -2 \end{vmatrix}=-4$

Adj(B)= $\fn_jvn \LARGE \begin{pmatrix} 2 & 0\\ -2 & -2 \end{pmatrix}$ ;
calculamos la traspuesta de la adjunta de B $\fn_jvn \LARGE \begin{pmatrix} 2 & -2\\ 0 & -2 \end{pmatrix}$ y dividimos por el valor del determinate y obtenemos la inversa $\fn_jvn \LARGE \\ \begin{pmatrix} \frac{2}{-4} & \frac{-2}{-4}\\ 0 & \frac{-2}{-4} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{-1}{2} & \frac{1}{2}\\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

Ejercicio 3

Sean

$\fn_jvn \large A=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}\rightarrow B=\begin{pmatrix} -1 & 0\\ -1 & 1 \end{pmatrix}\rightarrow C=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 3 & 1 \end{pmatrix}$

Calcular AX+B=C.

Despejamos la X, antes de sustituir las matrices, AX= C-B⇒ A^-1·A·X= A^-1·(C-B) ⇒ X=A^-1·(C-B)
Calculamos A^-1 ; $\fn_jvn \large \begin{vmatrix} 0 & 1\\ 1 & -1 \end{vmatrix}=-1$
Adj(A)= $\fn_jvn \large \begin{pmatrix} -1 & -1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ ; Adj(A) $\fn_jvn \large ^{t}=\begin{pmatrix} -1 & -1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ ; $\fn_jvn \large A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
Calculamos X; $\fn_jvn X=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\cdot \left ( \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 3 & 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -1 & 0\\ -1 & 1 \end{pmatrix} \right )= \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 4 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

Ejercicio 4

Calcular X en la ecuación matricial BXA=AB; siendo

$\fn_jvn A=\begin{pmatrix} 0 & -1\\ -1 & 2 \end{pmatrix}\rightarrow B=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

Despejamos X; $\fn_jvn B^{-1}\cdot B\cdot X\cdot A\cdot A^{-1}=B^{-1}\cdot A\cdot B\cdot A^{-1}= I\cdot X\cdot I=B^{-1}\cdot A\cdot B\cdot A^{-1}\rightarrow \\ \\X=B^{-1}\cdot A\cdot B\cdot A^{-1}$
Calculamos las inversas de las matrices A y B. Ya has visto parte del proceso anteriormente, ahora te voy a poner los resultados de las inversas de las matrices. $\fn_jvn A^{-1}=\begin{pmatrix} -2 & -1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}\rightarrow B^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ -2 & 1 \end{pmatrix}$
Sustituimos y hacemos las operaciones de las matrices.

$\fn_jvn X=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ -2 & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0 & -1\\ -1 & 2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 2 & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -2 & -1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}=$

$\fn_jvn =\begin{pmatrix} 0 & -1\\ -1 & 4 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 2 & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -2 & -1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}=$

$\fn_jvn =\begin{pmatrix} -2 & -1\\ 7 & 4 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -2 & -1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & 2\\ -18 & -7 \end{pmatrix}$

Ejercicio 5

Calcular X en la ecuación matricial XA+C=XB; siendo

$\fn_jvn A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1\\ 2 & 1 & 3\\ 1 & 2 & -2 \end{pmatrix}\rightarrow B=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ -1 & -1 & 3\\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}\rightarrow C=\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Despejamos X; $\fn_jvn XA-XB=-C\rightarrow X\left ( A-B \right )=-C\rightarrow X\left ( A-B \right )\left ( A-B \right )^{-1}=-C\left ( A-B \right )^{-1}$

$\fn_jvn X=-C\left ( A-B \right )^{-1}$

Calculamos A-B y luego la inversa:

$\fn_jvn A-B=\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1\\ 2 & 1 & 3\\ 1 & 2 & -2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ -1 & -1 & 3\\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & -1\\ 3 & 2 & 0\\ -1 & 0 & -3 \end{pmatrix}$

$\fn_jvn \left ( A-B \right )^{-1}=\begin{pmatrix} 3 & 0 & -1\\ \frac{-9}{2} & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$\fn_jvn \small X=-\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 3 & 0 & -1\\ \frac{-9}{2} & \frac{1}{2} & \frac{3}{2}\\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=-\begin{pmatrix} 3-\frac{9}{2}-1 & \frac{1}{2} & -1+\frac{3}{2}\\ 3-1 & 0 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{5}{2} & \frac{-1}{2} & \frac{-1}{2}\\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Ejercicio 6

Calcular la matriz X de la siguiente ecuación matricial A^t · X · A=2A, siendo

$\fn_jvn \small A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1\\ -1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

Despejamos la X de la ecuación: $\fn_jvn \small \left ( A^{t} \right )^{-1}\cdot A^{t}\cdot X\cdot A\cdot A^{-1}=\left ( A^{t} \right )^{-1}\cdot2\cdot A\cdot A^{-1}\\ X=2\left ( A^{-1} \right )^{t}\cdot$
Calculamos la inversa de A y luego la trasponemos

$\fn_jvn \small A^{-1}=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\ \frac{-1}{2} & \frac{-1}{2} & \frac{1}{2}\\ \frac{-1}{2} &\frac{-1}{2} &\frac{-1}{2} \end{pmatrix}\Rightarrow (A^{-1})^{t}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-1}{2} & \frac{-1}{2}\\ -1 & \frac{-1}{2} & \frac{-1}{2}\\ 0 &\frac{1}{2} &\frac{-1}{2} \end{pmatrix}$

Sustituimos y calculamos la X; $\fn_jvn \small X=2\cdot \left ( A^{-1} \right )^{t}=\begin{pmatrix} 0 & -1 & -1\\ \frac{-1}{2} & -1 & -1\\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

Ejercicio 7

Encontrar la matriz X de la siguiente ecuación matricial AX-X=B, siendo las matrices A y B

$\fn_jvn \small A=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & -1 \end{pmatrix}\rightarrow B=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 2 & 2 & -1 \end{pmatrix}$

Despejamos X; $\fn_jvn \small \left ( A-I \right )\cdot X=B; \left ( A-I \right )^{-1}\left ( A-I \right )\cdot X=\left ( A-I \right )^{-1}\cdot B$

$\fn_jvn \small X=\left ( A-I \right )^{-1}\cdot B$

Calculamos A-I; $\fn_jvn \small \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & -1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 3 & -2 \end{pmatrix}$
A continuación hacemos la inversa de esta resta

$\fn_jvn \small \begin{pmatrix} \frac{2}{5} &\frac{1}{5} \\ \frac{3}{5} & \frac{1}{5} \end{pmatrix}$

Luego sustituimos y calculamos X; $\fn_jvn \small X=\begin{pmatrix} \frac{2}{5} &\frac{1}{5} \\ \frac{3}{5} & \frac{1}{5} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 2 & 2 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{6}{5} & 0 & \frac{-1}{5} \\ \frac{8}{5} & \frac{-1}{5} & \frac{-1}{5}\end{pmatrix}$

Ejercicio 8

Calcular la matriz X de la ecuación AX+I=B. siendo las matrices A, B e I:

$\fn_jvn \small A=\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\rightarrow B=\begin{pmatrix} 1 & -2\\ 0 & -3 \end{pmatrix}\rightarrow I=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Despejamos la matriz X; $\fn_jvn \small AX=B-I\rightarrow A^{-1}\cdot A\cdot X=A^{-1}\cdot \left ( B-I \right )\rightarrow X=A^{-1}\cdot \left ( B-I \right )$
Calculamos la inversa de A= $\fn_jvn \small \begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
Calculamos B-I= $\fn_jvn \small \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 0 & -4 \end{pmatrix}$
Sustituimos en la X despejada y nos queda $\fn_jvn \small \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & -4 \end{pmatrix}$

Ecuaciones matriciales selectividad

Coge papel y boli que vas a flipar con estos ejercicios de ecuaciones matriciales y sistemas de ecuaciones con matrices. Son ejemplos que han salido en pruebas de acceso a la universidad

Ejercicio 1

Calcular la ecuación matricial AX=B, siendo

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4

Ejercicio 5

Ejercicio 6

Ejercicio 7

Ejercicio 8

Ecuaciones con matrices resueltas 2º bachillerato pdf.

Ecuaciones con matrices calculadora.Calculadora de ecuaciones en forma matricial

Lo has esperado todo el tiempo, una herramienta con la que puedas comprobar si tus ejercicios están bien, pues si clicas este botón tendrás la forma de comprobar si la solución a tu ecuación matricial está bien o la tienes que retocar. ¡Venga clica ya!

Ecuaciones con matrices

Sistemas de ecuaciones con matrices. ¿Qué es un sistema matricial?

Si tienes esta pregunta¿qué son los sistemas de ecuaciones matriciales? pues te respondo de forma muy simple, si tienes dos o más ecuaciones con matrices estarás trabajando con un sistema de ecuaciones matriciales, sin más.

Entonces, ¿quieres un ejemplo de sistema matricial? Sí, verdad:

Ejemplo de sistemas de ecuaciones con matrices

Estos sistemas se resuelven como los sistemas de ecuaciones lineales clásicos, es decir, puedes utilizar el método de sustitución, igualación o reducción, aunque mi consejo es que utilices el método de reducción. Mira cómo lo resuelvo:

Resolución de un ejemplo de sistemas de ecuaciones con matrices

Fíjate que he considerando las propiedades propias de las operaciones con matrices y los procesos típicos de las ecuaciones lineales al despejar las incógnitas.

Sistemas de ecuaciones matriciales Bachillerato.

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