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Cómo Calcular el Rango de una Matriz: 2 Métodos y Ejemplos

por Pepe Peláez Torres noviembre 9, 2021
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Cómo calcular el rango de una matriz

  • El rango de una matriz es un concepto fundamental en álgebra lineal que determina el número máximo de columnas o filas linealmente independientes dentro de una matriz.
  • Es el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula, cuyo determinante es distinto de cero.

¿Qué es y cómo saber el rango de una matriz?

La definición de rango de una matriz, es el mayor de los órdenes de los menores no nulos que podemos encontrar en la matriz, 😜, aquí tienes otra, el número máximo de filas (o columnas) linealmente independientes.

Siempre que te digan que hay filas o columnas linealmente independientes es porque:

  • No son iguales o proporcionales.
  • Aplicando operaciones elementales consigues una fila o una columna sea completa de ceros.

En este ejemplo te lo aclaro.

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matrices linealmente independientes

Por tanto, el rango no puede ser mayor al número de filas o de columnas.
Aquí vas a ver que dependiendo de la dimensión de las matrices o si tienen o no parámetros te voy a recomendar una forma u otra. Si ves que hay muchas propiedades de las matrices que se te escapan, solo tienes que clicar

¿Cómo calcular el rango de una matriz?

Métodos para calcular el rango de una matriz.

Existen varios métodos para calcular el rango de una matriz. Los más comunes y efectivos incluyen el cálculo por determinantes y el método de Ceros. Cada uno tiene sus propias ventajas y aplicaciones dependiendo del contexto.

Rango de una matriz por Gauss. Rango de una matriz haciendo ceros.

No hay normas generales. Te voy a sugerir lo siguiente, si la matriz A no depende de parámetros, puede resultar muy cómodo utilizar operaciones elementales de fila para conseguir una matriz equivalente.

💁‍♀️ Aquí tienes dos ejemplos:

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¿Qué es el rango de una matriz y cómo se calcula?
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¿Qué es el rango de una matriz y cómo se calcula?

Si te fijas las filas 3, 4, 5 y 6 son proporcionales a la fila 2, si multiplicas la fila 2 por -2,-3, 4 y -5 respectivamente obtienes las filas antes mencionadas. En este momento ya no tienes por qué seguir, de todas estas filas proporcionales te quedas con 1, así la fila primera y segunda son linealmente independientes, es decir, el rango de la matriz es 2.

¿Cansado/a de luchar con conceptos confusos y ejemplos complicados? 😣 No te preocupes más. Explora nuestras detalladas explicaciones sobre las 🧩 propiedades de las matrices y despídete del estrés. 💡

Te recomiendo estas definiciones

Cómo saber el rango de una matriz por determinantes

Se basa en la identificación de submatrices cuadradas y el cálculo de sus determinantes. El rango de la matriz es igual al tamaño de la submatriz cuadrada más grande cuyo determinante es distinto de cero.

Puede volverse complicado para matrices grandes debido a la cantidad de submatrices posibles y el cálculo de determinantes, aquí tienes mucha más información sobre cómo calcular el rango de una matriz por determinantes.

Cómo hallar el Rango de matrices. Ejemplos.

Voy a darte algunos ejemplos con distintos métodos de resolución para que tengas más material.

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Cómo calcular el rango de una matriz

Sustituimos por cada valor que nos a dado en la matriz inicial y vemos el rango que nos queda en cada caso, en esta imagen verás para k=-1

Cómo calcular el rango de una matriz

En este caso voy a sustituir por k=2, y verás como el rango da 2, mira por qué.

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Cómo calcular el rango de una matriz

Si k=0 y haciendo lo mismo que anteriormente nos da 3, compruébalo.

Cómo calcular el rango de una matriz

Sustituyo por 1/2 y el rango nos da 3

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Otra forma de resolver estos ejercicios es orlando la matriz, pero esto te lo voy a explicar a continuación. Fíjate bien que te hará más fácil la resolución de algunos ejercicios.

¿Cómo obtener el rango de una matriz de 3×3?

¿Cuándo una matriz es de rango 3? Cómo calcular el rango de una matriz cuando tiene tres filas o tres columnas linealmente independientes, mira este ejemplo.

A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\ 2 & 1 & 3\\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix}   realizamos las siguientes operaciones F_{2}\rightarrow F_{2}-2F_{1}; F_{3}\rightarrow F_{3}-F_{1}

\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\ 0 & -1 & 5\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} ya podemos decir que las tres filas son linealmente independientes, por lo tanto, el rango de la matriz es 3.

Matriz de 2×2 ¿Cuál es su rango?

Cómo calcular el rango de una matriz cuando tenemos la siguiente matriz de orden 2

A=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} realizamos este ejercicio por determinantes y nos queda

\begin{vmatrix} 1 & -1\\ 1 & 3 \end{vmatrix}=3-(-1)=4

Al ser el determinante distinto de cero el rango de la matriz es 2.

¿Y si la matriz es de 4×4, cuál es su rango?

A la hora de elegir un método, yo te recomiendo que a partir de este orden de matrices en adelante las hagas por el método de hacer ceros, a no ser que el propio enunciado te obligue a hacerlo de otra manera.

A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 3\\ 2 & 0 & 1 & -1\\ 1 & 2& 1 & 2\\ 2 & -1 & 0 & -1 \end{pmatrix},

hacemos la siguientes operaciones

con las filasF_{2}\rightarrow F_{2}-2F_{1}; F_{3}\rightarrow\newline\rightarrow F_{3}-F_{1}; F_{4}\rightarrow F_{4}-2F_{1}

Nos queda A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 3\\ 0 & -2 & 3 & -7\\ 0 & 1 & 2 & -1\\ 0 & -3 & 2 & -7 \end{pmatrix}; resolvemos con la fila segunda

para hacer ceros, debajo de la diagonal principal, la segunda columna

F_{3}\rightarrow 2F_{3}+F_{2}; F_{4}\newline\rightarrow 2F_{4}-3F_{2}

A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 3\\ 0 & -2 & 3 & -7\\ 0 & 0 & 7 & -9\\ 0 & 0 & -5 & 14 \end{pmatrix}; voy a seguir hasta el final,

pero ya se puede ver que el rango de la matriz es 4.

F_{5}\rightarrow 7F_{5}+5F_{3}

A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 3\\ 0 & -2 & 3 & -7\\ 0 & 0 & 7 & -9\\ 0 & 0 & 0 & 53 \end{pmatrix}

aquí se ve claramente que el rango es 4

¿Cuál es el rango de una matriz 3×4?

Hasta ahora te he puesto ejemplos de matrices cuadradas. ¿Y si no son cuadradas? se hacen igual, ¡pues no!

A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & -1\\ 2 & 1 & 0 & 0\\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}, las operaciones de las filas

son las siguientes: F_{2}\rightarrow F_{2}-2F_{1}; F_{3}\rightarrow F_{3}-F_{1}

A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0 & 2\\ 0 & -2 & -1 & 2 \end{pmatrix}, seguimos calculando

F_{3}\rightarrow F_{3}-2F_{1} 

A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & -1 & -2 \end{pmatrix}, vemos que el rango es 3.

¿Puedes hacer este mismo ejercicio por determinantes?, claro que sí. Empiezo por los determinantes de orden 3.

\begin{vmatrix} 1 & 1 & -1\\ 2 & 0 & 1\\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix}=0+1-4-(0+2+2)=-3-4=-7,

ya lo tenemos al ser distinto de 0, el rango de esta matriz es 3.

Calculadora rango de una matriz.

En muchas ocasiones te has quedado dudando si un ejercicio está bien o no, si quieres calcular el rango de las matrices mediante calculadora clica en el botón y lo encontrarás el cálculo con la calculadora paso a paso.

Calculadora de matrices