Propiedades de las integrales definidas, ¿cuántas veces mis alumnos no han sabido hacer una integral o la han resuelto con muchos pasos? pues en más ocasiones de las que podéis pensar.
Y cuando las he resuelto con las propiedades de las integrales en dos pasos se han echado las manos a la cabeza. Por todo esto y más, no quiero que te pase a ti.
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¿Cuáles son las propiedades de las integrales indefinidas?
Aplicar estas propiedades de la integral o no es como utilizar un coche sin frenos. Las propiedades se deben aplicar siempre que puedas, consejo de amigo.
Sean f(x) y g(x) funciones que tienen sus respectivas primitivas y sea k ∊ 𝐑:
✅ Si te encuentras con un integrando que es la suma de funciones, te aconsejo que separes cada sumando en integrales inmediatas individuales, es decir,
∫(f(x)+g(x))dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx
Ejemplo ∫(x+senx)dx=∫xdx+∫senxdx= x2 /2-cosx+C
✅ Sea la integral inmediata ∫k·f(x)dx= k·∫f(x)dx
Ejemplo. ∫2xdx=2∫xdx=x2+C
✅ La integral de una resta de funciones es igual a la resta de las integrales
∫(f(x)-g(x))dx=∫f(x)dx-∫g(x)dx
Ejemplo. ∫(x-senx)dx=∫xdx-∫senxdx= x2 /2+cosx+C
Propiedades de las integrales definidas. Integral definida
¿Hay alguna diferencia entre la integral definida y la indefinida? Sí, de una forma sencilla, la integral indefinida se desarrolla sin tener en cuenta límites de integración, mientras la definida sí tiene límites de integración.
Por este motivo y para hacer los ejemplos debo introducir dos conceptos antes de ver las propiedades de integrales:
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¿Qué es una integral definida?
Sin meternos en una teoría amplia, esto sería motivo de otro artículo, tenemos que las integrales definidas se caracterizan por lo siguiente:
Voy a darte una definición desde el punto de vista geométrico. Dada una función f(x), continua en un intervalo compacto [a,b], la integral definida es igual al área encerrada por la gráfica de f(x), el eje de abscisas y las rectas x=a y x=b.
¿Y cómo simbolizamos la integral definida? las integrales definidas las vas a ver de esta forma
a es lo que llamamos el límite superior y b el inferior.
Regla de Barrow
Voy a decirte lo que es, solo por hacer ejemplos cuando veamos las propiedades de las integrales definidas.
Sea una función continua en un intervalo [a,b], cuya función primitiva es G(x), entonces según Barrow tenemos que:
Propiedades de linealidad de las integrales definidas
Si f y g son dos funciones integrales de Riemann definidas en el [a,b] y k un número:
Propiedades de aditividad en el intervalo de integración
Si f es una función integral de Riemann definida en el [a,b] y c un número interior al intervalo, a<c<b:
Propiedades de monotonía
Si f y g son dos funciones integrales de Riemann definidas en el [a,b] ambas mayores que cero y f≥g
