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Los mejores ejercicios resueltos de integrales indefinidas por sustitución

por Pepe Peláez Torres mayo 2, 2022
integrales por sustitución

Integrales por sustitución, un nuevo tipo de integrales indefinidas. Efectivamente los cambios son difíciles de ver, aunque no eres el único/a. Te recomiendo que hagas integrales por sustitución ejercicios resueltos.

Pero yo te voy a ayudar a hacer cambio de variable para resolver tus integrales por sustitución.

Integrales por sustitución. Definición del método de sustitución en integrales

¿Cómo resolver integrales por sustitución? en este artículo te voy a resolver tu problema de cómo resolver las integrales por sustitución o por cambio de variable paso a paso. Vamos a ello, no es tan difícil pero sí debes trabajarlas.

5 pasos para resolver integrales por cambio de variables

A veces es difícil saber el cambio que debo utilizar para que pueda resolver este tipo de integrales. Te doy una recomendación antes de ver esos 5 pasos:

Sea cual sea el cambio que hagas, la nueva integral debe ser más fácil que la primera, en caso contrario debes hacer otro cambio

Un amigo

Bueno vamos a por esos 5 pasos:

Imagina que tenemos la siguiente integral ∫f(u)·u’ du

  • De todos los términos que tenga la integral debes elegir uno de ellos para hacer el cambio de variable.
  • Derivamos ese cambio de variable.
  • Sustituimos todos los cambios y la derivada en la integral y si la nueva integral es más fácil que la primera, seguimos con el siguiente paso.
  • Integramos la nueva integral.
  • Deshacemos el cambio de variable.

Vale muy bien, muy teórico pero seguro que quieres verlo aplicado a un ejemplo, aquí lo tienes paso a paso:

Por ejemplo, fíjate bien:

\int x\cdot \sqrt{2+x}dx hacemos el cambio de variable, por ejemplo decides que lo haces con 2+x=t^{2}

2º paso, derivamos dx=2tdt;

Tercer paso, sustituir en la integral, tenemos que

x=t^{2}-2\rightarrow \int \left ( t^{2}-2 \right )\cdot \sqrt{t^{2}}2tdt;

operamos antes de integrar

\int \left ( t^{2}-2 \right )\cdot t\cdot 2tdt=2 \int \left ( t^{2}-2 \right ) t^{2}dt=\newline2\int\left ( t^{4}-2t^{2} \right ) dt

esta integral es mucho más fácil que la primera.

En caso contrario busca otro cambio de variable.

4º paso; Integrar: 2\int \left ( t^{4}-2t^{2} \right )dt=\newline2\int t^{4}dt-4\int t^{2}dt=\frac{2}{5}t^{5}-\frac{4}{3}t^{3}

5º paso, deshacer el cambio: Si 2+x=t^{2}, entonces

t=\sqrt{2+x}=\left ( 2+x \right )^{\frac{1}{2}}, como tenemos que cambiar

t elevado a la quinta y a al cubo obtendremos lo siguiente t^{5}=\left ( \left ( 2+x \right )^{\frac{1}{2}} \right )^{5}=\newline\left ( 2+x \right )^{\frac{5}{2}}\rightarrow t^{3}=\left ( \left ( 2+x \right )^{\frac{1}{2}} \right )^{3}=\newline\left ( 2+x \right )^{\frac{5}{3}}

Resultado final de la integral será \frac{2}{5}\left ( 2+x \right )^{\frac{5}{2}}-\frac{4}{3}\left ( 2+x \right )^{\frac{5}{3}}+C

Principales cambios de variable que te vas a encontrar

Hay integrales que se desarrollan por cambios clásicos que debes aprender, a continuación de daré esos cambios y por supuesto cómo aplicarlos. Es importante que los entiendas y los trabajes.

  1. \int R\left ( x,\sqrt{a^{2}-x^{2}} \right )dx\rightarrow x=asent

Ejemplo: \int \frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}dx

Un amigo

2. \int R\left ( x,\sqrt{a^{2}}+x^{2} \right )dx\rightarrow x=atant

Ejemplo: \int \frac{dx}{x^{2}\cdot \sqrt{1+x^{2}}}

Un amigo

3.

\int R\left ( x,\sqrt{x^{2}-a^{2}} \right )dx\rightarrow x=asect

Ejemplo: \int \frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}dx

Un amigo

4. \int R\left ( x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}} \right )dx\rightarrow t^{n}=\frac{ax+b}{cx+d}

Ejemplo: \int \frac{\sqrt{\frac{2x+1}{3x+2}}}{x}dx

Un amigo

5. Integrales irracionales cuyo radicando es x. \int R\left ( x,\sqrt[p]{x} \sqrt[q]{x}...\sqrt[s]{x} \right)dx\rightarrow t^{n}=x

siendo n el mcm entre todos los índices de los radicales.

Ejemplo: \int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}+1}dx

Un amigo

7 Ejemplos de examen por sustitución simple

Voy a resolver estos 7 ejercicios de integrales paso a paso para que veas cómo se hacen los cambios de variable y luego cómo se deshacen esos cambios.

∫▒〖e^4x dx〗 resolveré esta integral por cambio de variable, t=4x; dt=4dx; sustituimos y nos queda la integral ∫▒〖e^t/4 dt〗=1/4 e^t deshacemos el cambio y nos da la solución de la integral 1/4 e^4x+C ∫▒〖x^3/(1+x^8 ) dx〗 realizamos el siguiente cambio x4=t; 4x3dx=dt y la integral nos queda 1/4 ∫▒〖(4x^3)/(1+x^8 ) dx=1/4 ∫▒〖dt/(1+t^2 )=1/4 arctgt〗〗; deshacemos el cambio 1/4arctgx4+C ∫▒〖e^arcsenx/√(1-x^2 ) dx〗; aplicamos el cambio de variable t=arcsenx; dt= 1/√(1-x^2 ) dx; por lo tanto, ∫etdt=et, volviendo a deshacer el cambio tenemos earcsenx +C ∫▒dx/xlnx; hacemos el siguiente cambio lnx=t; (1/x)dx=dt. Lo trasladamos a la integral ∫▒〖dt/t=lnt〗; quitando el cambio; ln(lnx)+C ∫▒(arcsenx+x)/√(1-x^2 ) dx dividimos la suma del numerador en dos integrales ∫▒arcsenx/√(1-x^2 ) dx+∫▒x/√(1-x^2 ) dx luego hacemos los siguientes cambios t=arcsenx; dt=1/√(1-x^2 ) dx ; y para la segunda integral u=√(1-x^2 ); u^2=1-x^2;2udu=-2xdx; por lo tanto, ∫▒tdt-1/2 ∫▒(-2udu)/u=t^2/2-u , con el cambio nos que (arcsenx)^2/2-√(1-x^2 )+C ∫▒e^2x/(1+e^2x ) dx ; el cambio es e2x=t; 2x=lnt; ∫▒t/(1+t) 1/2t dt=∫▒dt/(1+t)=1/2 lnt con el cambio nos da 1/2 ln⁡(1+e^2x )+C ∫▒e^(1/x^2 )/x^3 dx cambio 1/x^2 =t; (-2)/x^3 dx=dt, aplicando el cambio en la integral tenemos -∫▒e^t/2 dt=-1/2 e^t=-1/2 e^(1/x^2 )+C

Y si los quieres imprimir en papel aquí los tienes gratis, integrales por sustitución ejercicios resueltos pdf

Ejemplos resueltos de integrales trigonométricas por sustitución

Quizás sean de las más complicadas pero aquí en este artículo tienes ejercicios resueltos de integrales por sustitución para que veas cómo son los cambios. Estas son las integrales por sustitución trigonométrica ejercicios resueltos

∫▒〖tgxdx=∫▒senx/cosx〗 resolveré esta integral por cambio de variable, t=cosx; dt=-senxdx; sustituimos y nos queda la integral ∫▒〖-1/t dt〗=-lnt deshacemos el cambio y nos da la solución de la integral -ln⁡(cosx)+C ∫▒〖(senx+cosx)/cosx dx=∫▒〖senx/cosx dx+∫▒〖cosx/cosx dx〗〗〗 realizamos el mismo cambio que antes y además la primera integral es igual y la segunda es muy fácil nos quedan -ln(cosx)+x+C ∫▒〖(sen√x)/√x dx〗; aplicamos el cambio de variable t=√x ; dt= 1/(2√x) dx; por lo tanto, 1/2 ∫▒sentdt=1/2 cost volviendo a deshacer el cambio tenemos 1/2 cos√x +C ∫▒dx/xlnx; hacemos el siguiente cambio lnx=t; (1/x)dx=dt. Lo trasladamos a la integral ∫▒〖dt/t=lnt〗; quitando el cambio; ln(lnx)+C ∫▒(sen(lnx))/x dx luego hacemos el siguiente cambio t=lnx; dt=1/x dx ; por lo tanto, ∫▒sentdt=-cost , con el cambio nos queda -cos(lnx)+C ∫▒sen3x/(〖cos〗^2 3x) dx ; el cambio es cos3x=t; -3sen3xdx=dt; -1/3 ∫▒(-3sen3x)/(〖cos〗^2 3x) dx=-1/3 ∫▒dt/t^2 =-1/3 t^(-1)=(-1)/3t con el cambio nos da -1/3cos3x+C

Aquí también los tienes en formato pdf por si te lo quieres descargar