Cómo resolver integrales por partes paso a paso

Si no sabes cómo se resuelven las integrales por partes cíclicas no te preocupes que aquí encontrarás ejercicios resueltos.

Un método más del cálculo de integrales. En este vídeo puedes ver el método que yo llamo de resolución de integrales por partes ALPES. Además de explicarte la resolución por la fórmula de integrales por partes.

NO UTILICES LA CALCULADORA DE INTEGRALES POR PARTES. APRENDE CÓMO SE HACEN

¿Qué es la integración por partes?

¿Qué es la integral por partes? Cuando tratas la tabla de integrales inmediatas, que podemos decir que son integrales básicas, ves claramente que no existe una fórmula adecuada para la integral de una multiplicación de funciones, como ocurría con las derivadas. Bueno, qué se le va a hacer.

¿Puedes acercarte a una fórmula para integrales de un producto o integral de una multiplicación de funciones? sí, gracias a la integración por partes. Utilizarás unas reglas para transformar una integral en otra mucho más asequible. Luego te recomendaré unos truquitos al respecto, pero ahora mira cómo hacer una integral por partes.

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¿Cómo se resuelven las integrales por partes?

¿Cómo saber si es una integral por partes? Para identificar una integral de este tipo se deben cumplir una serie de requisitos

1. Te tienes que encontrar con una integral que tenga el producto de dos funciones.
2. A una de las funciones le llamas u(x) y a la otra dv.
3. Se calcula du derivando u y se calcula v integrando dv.
4. Se aplica la fórmula.

Aquí tienes una imagen resumen de lo que debes hacer. Estate atento/a porque pronto verás ejemplos resueltos paso a paso. Fórmula de integración por partes.

Como has visto, es como una integral por cambio de variable.

Integrales por partes ejercicios resueltos

Una vez que ya sabes cómo reconocer las integrales por partes, cómo elegir u y dv debemos aplicarlo a ejercicios. Pues vamos a ello:

Integrales por partes con exponenciales

Vas a ver 3 ejemplos donde una de las funciones es exponencial, en concreto con la base del número e, y la otra son funciones polinómicas. Integrales exponenciales resueltas, método de integración por partes.

Integrales por partes logarítmicas con lnx

Vamos a calcular integrales por partes.

Integrales trigonométricas inversas, es decir, las funciones arco.

Son muy típicas las funciones arco cuando van solas en la integral, en este caso hay que tratarlas como integrales por partes, mira estos ejercicios de integrales por partes:

Integrales por partes cíclicas. Ejercicios resueltos.

Es algunas ocasiones te vas a encontrar que al integrar por partes vuelve a aparecer en el segundo miembro la integral inicial, es decir, la que hay que calcular y lo tenemos que resolver como una ecuación.

Si te has preguntado ¿cuáles son las integrales cíclicas? o ¿cuándo una integral por partes es cíclica? o ¿cuál es la fórmula de integración por partes? yo te voy a dar la respuesta a todas estas preguntas. Vamos a ver estos ejemplos de integrales por partes.

Ejercicios de integrales por partes 2º bachillerato de EVAU o EBAU

Tanto si eres un alumno/a o profesor/a aquí te dejo un pdf para que te lo puedas descargar, son ejercicios de integrales resueltas por el método por partes y sus soluciones. Integrales por partes ejercicios.

Varias recomendaciones (truquitos)

• Si te has dado cuenta hay que integrar de nuevo al calcular quién es v(x), te recomiendo que dv sea sencilla, la más sencilla de las posibilidades que tengas.
• Si estás resolviendo la integral por este método debes tener en cuenta que la integral que aparece en la fórmula debe ser más fácil de solucionar que la primera integral.
• En el caso de que la segunda integral sea más complicada que la primera debes cambiar, y llamar u(x) a la otra función.
• Llama u(x) a la función más difícil de integrar.
• Si te aparecen integrales donde solo tienes la función logarítmica y arco, debes tratarlas de esta forma, es decir, como integrales por partes, después verás ejemplos.
• Hay una regla para acordarse de la fórmula, es la siguiente: las palabras mayúsculas son las que intervienen en la fórmula, Un Día Vi Una Vaca MENOS Flaca Vestida De Uniforme (UDV = UV – FVDU).

Y hablando de estrategias de resolución. fíjate en la siguiente:

Integrales por partes ALPES. Cómo elegir u y dv

Una vez que sabes cómo reconocer integrales por partes pasamos al segundo paso, ¿a quién llamo u(x) y v(x) para que la fórmula fluya? es decir, cómo elegir u y dv en las integrales por partes, pues tengo la solución y es tan fácil que recordar la cordillera de los ALPES, sí como te lo digo, mira, cada letra corresponde a un tipo de función que te puedes encontrar en las integrales de este tipo,

• A corresponde a Arco, es decir, funciones del tipo arco.
• L, funciones logarítmicas.
• P, designa las funciones polinómicas.
• E, exponenciales.
• S, seno, coseno.

Pero, cómo lo utilizo. Cuando tienes una integral por partes llamarás u(x) a la función que esté más a la izquierda de la palabra. Mira estos ejemplos:

La clave está en escoger adecuadamente u y dv, ahora lo entenderás con este ejemplo.

Imagina que tienes esta integral ∫x² senxdx, es decir, el producto de una función polinómica de grado 2 y la función seno, haces los cambios llamando

u(x)=senx

du=cosxdx

dv=x²dx,

Entonces a la hora de calcular v, te va a quedar v=x³/3

Ahora sustituye en la fórmula:

x³/3 senx-∫ x³/3 cosxdx y la nueva integral va a quedar con una función polinómica de mayor grado que la inicial, esto es indicativo que no estamos haciendo bien las cosas.

Observa que la integral segunda es más complicada que la primera. No es el camino.

Utiliza ALPES, hazme caso.

Es cierto que en algunas ocasiones debes aplicar el método más de una vez para calcular una misma integral.

En este caso, al aplicar el método por segunda o tercera vez o sucesivas veces, tenemos que llamar u al resultado de du del paso anterior y dv al resultado v. En caso contrario te vas a encontrar con una nueva integral que no te hará avanzar hasta el resultado final.

Fíjate:  ∫x² senxdx,

u(x)= x²

du=2xdx

dv= senx dx,

Entonces a la hora de calcular v, te va a quedar v=-cosx

Sustituimos en la fórmula

-x² cosx+∫2x cosxdx, , ahora en esta nueva integral sigue llamando u(x) a la función polinómica, no cambies a la otra función porque vas a deshacer el camino andado, fíjate el error que se comete:

u(x)= cosx

du=-senxdx

dv= -2x dx,

Entonces a la hora de calcular v, te va a quedar v=-x²

-x² cosx-(-x²cosx-∫x² senxdx), ahora en esta nueva integral es la misma que la primera. ERROR, sigue mi consejo.

¿Quieres ver 43′ resolviendo integrales por partes paso a paso?

Aquí puedes ver integrales indefinidas por partes resueltas paso a paso.